透视与函数单调性密切相关的七类数学问题.pdfVIP

2010年第7期 中学数学研究 17 透视与函数单调性密切相关的七类数学问题 广东省鹤 山市第三中学 (529733) 高 见 函数单调性是高中数学的重要组成部分，它反 C√ sin1)／(eos1) 映了自变量与函数的关系，其影响力渗透甚广，经常 D．，(cos2)_厂(sin2) 应用于数列、不等式、抽象函数、值域、方程、导数、参 分析：同学们常遇到不等式和函数结合的求解 数等棘手的问题．作为一大解题利器，熟练运用函数 问题，对于类似本题的比较大小 问题常感到束手无 单调性的性质，往往会带给我们柳暗花 明又一村的 策．此题将函数在[3，5)上的单调性，再借助周期性 快感，但其在高中数学中可谓是盘根错节，难见云 是本题的突破 口．解决不等式中的证明，比较大小等 雾．本文通过对七类有关的题型进行归类、解析、点 题型，函数的单调性和图像就是一种不可或缺的工 评 ，透视巧用函数单调性的一般规律，提高解题的技 具． 巧性，希望对同学们学好数学有所帮助． 解析：将 )=2一l 一4I去绝对值符号，则 一 、 函数单调性与数列 6’ 5 有 = ． 由 ) 例 1 已知数列 {口}的通项公式 为 口 = ． 3 可得周期 T=2，画出大致图像，知．厂()在 (一1，0) ， 问数列中最大的项是第几项? n + U 上单调递增，在区间(0，1)递减，并结合正余弦函数 分析：在数列当中常常出现求最值等问题 ，从函 图像，易判断A、B、C都不正确，故选 D． 数角度来看，数列从某种意义上讲是一种特殊的函 同类练习2．设口0，求证 +告 ≤ 数．而本例题就是应用函数单调性来作为突破 口，而 某些数列的单调性具有一定的隐蔽性，需要一些变 5／2(提示 ：不等式转化为 +k／x口类型，通过构 换 、化简才能明朗． 造函数，再利用函数 )： +k／x单调性解题．) 解析：通项公式可 以变为 。n 1 ，令 点评 ：不等式与函数单调性联系密切 ，互相渗 透．函数的单调性是通过不等式展示的．在解决某些 0n _厂()： + ，易证函数l厂()在区间(0， 0)上是 不等式题 目的时候 ，注意从题 目信息中发现突破 口， 巧妙应用函数的单调性，不失为一种重要而简捷 的 减函数，在区间[,／N ，+。。)上为增函数，故当 = 方法． 90时取得最小值 ，所 以 当取9或 10时，n十 取 三、函数单调性与抽象函数 ， 例3 已知函数 )满足：对任意的m， ∈R， 得最小值，即当 取9或 lO时，。的值最大，所以最 都有 m+ )：_厂