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2010年第8期 数学数学 8一 由2010年上海春季高考题所想到的 200241华东师范大学数学系O8级研究生 刘 芬 冯铮铮 在每年的高考试题中，都有一些值得我们反 了一个介于vg和、／／7之间的有理数．那么，对于 复思考和仔细推敲的题 目，通过对题 目本身的分 任意的两个无理数a和b，它们之间是否也能找 析与再认识，我们会发现有些题 目本身有着深刻 到一个有理数呢?答案是肯定的!更一般地，我 的背景或者是有很好的延伸性．特别是在近几 们有： 年的上海春考、高考题中越来越重视考察学生 定理1 设ab∈R，且a6，则存在r∈ 的自主学习与主动探索的能力．本文就对2010 Q，使得nr6． 年春季高考试卷巾的三道题做进一步的探究． 证：若b—al，则a、b之间至少存在一个 整数．记该整数为r，显然r即为所求． 第12题原题如下：根据所示的程序框图(其 中 表示不大于z的最大整数)，输出r=——． 若0b—a≤1，则存在正整数n，使得二 f)一a≤1．贝0由n0—1fnn]≤z／a，可得 f ± ≤0+ 。 ． 1-z n 1 而 二6一 日，因此 7 ± b ． a rr =： — ． Tt, 从而_厂是满足定理要求的有理数． 该定理实际上表明了有理数集在实数集中 是稠密的．当取a、b为无理数时，就回答了我们 之前提出的问题．很 自然地，我们会 问：任意两 个实数之间是否也一定能找到无理数呢? 定理2 设a、bER，且a6，则存在无理 数8，使得口sb． 图 1 证：首先，下面两个事实是容易证明的． 就题 日本身来讲． 题丰要考查了学生对程 ·一个有理数加上一个无理数，结果是一个 序1：匡 ( 1)的 洗力以及准确计 的能力， 无理数． 并且在算法r{l