相对本质子模与Morita对偶.pdfVIP

第 26卷 第 5期 福建师范大学学报 (自然科学版) Vo1．26 No．5 2010年 9月 JournalofFujianNormalUniversity (NaturalScienceEdition) Sept．2010 文章编号：1000—5277(2010)05—0001—05 相对本质子模与Morita对偶 张小蓉 ，周德旭 (福建师范大学数学与计算机科学学院，福建 福州 350007) 摘要 ：将小模类 引入研究本质子模 ，推广得到了口一本质子模 ，并刻画了其性质．通过 ～本质子模 引入并 刻画了模的d一基座．在 Morita对偶下，证明了 一本质子栌与 一小子模构成 了对偶对． 关键词 ：小模；木质子模 ；基座 ；Morita对偶 中图分类号 ：O153．3 文献标识码 ：A RelativeEssentialSubmodulesandM oritaDuality ZHANG Xiao—rong。ZHOU De—xu (SchoolofMathemati~ andComputerScience，FujianNormalUniversity，Fuzhou350007，China) Abstract：Theauthorintroducetheclassofsmallmodulestoinvestigate口一essentialsub— modules．andobtainsomeproperties． —essentialsubmodulesareusedtointroduceandchar— acterize 一soclesofmodules．UnderM oritaduality，theauthorprovethat口一essentialsub— modulesand —smal1submodulesaredualeach other． Keywords：smallmodule；essentialsubmodule；socle；M oritaduality 小(多余)子模和本质子模是环模理论研究中十分重要的概念．2000年，周毅强在文[1]中将奇异模 类 引入研究小子模得到 了 一小子模 ，即子模 Ⅳ称为 的 一小子模 ，如果对于任意真子模K且M ／K 为奇异的，均有Ⅳ+K≠M，并记作Ⅳ 《M．在文[1]中，作者用 一小子模推广了环模理论中一些重要 的概念，得到 了投射 一覆盖，一完全环 ，一半完全环与 一半正则环的刻画．近来 ，文[2—3]都利用 一小 子模给出了环的一些重要性质的刻画． 受此启发，本文将小模类 引入研究本质子模 ，推广得到了 一本质子模 ，并给出了 一本质子模的性 质．同时，本文将模的一个重要子模即基座推广得到 一基座，并通过 一本质子模给出 一基座的等价刻 画，推广了文E4]中的命题 9．7．众所周知，本质子模与小子模是互为对偶的，本文证明了 一本质子模恰 好与文[1]中 一小子模也构成了Morita对偶对． 本文中环均指有单位元的结合环，模均指酉模．用N 《M，Ⅳ M分别表示Ⅳ是 的小子模和本质 子模．其余未指明的定义和符号可参见文献[43． 1 一本质子模 按照文Es]，左R一模 M称为小模，如果M为某个模的小子模 ，等价地 ，M为M 的内射包络E(M)的 小子模．子模Ⅳ为左R一模M 的本质子模 ，是指Ⅳ与 的所有非零子模的交不为零．本文将M 的所有 非零子模限制为 M 的所有非零子模中的小模 ，得到 了如下推广． 定义 1 设 Ⅳ为左 R一模 的子模．如果对M 的任意非零子模K且K为小模 ，都有Ⅳ nK ≠0， 则N 称为M 的 一本质子模 ，记为 Ⅳ M． 收稿 日期 ：2009—09—15 基金项 目：福建省 自然科学基金资助项 目 (2009J01003)；福建省科技厅 F5项 目 (2007F5038) 通讯作者 ：张小蓉 (1988一 )，主要研究方向为环论与同调代数．zxrmath@yahoo．corn．cn 2 福 建 师 范 大 学 学 报 (自然 科 学