2018年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数学案 新人教A版必修1.docVIP

2.3　幂函数 1．通过实例了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数．(易混点) 2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象，了解它们的变化情况．(难点) 3．能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较．(重点) [基础·初探] 教材整理1　幂函数的概念 阅读教材P77至倒数第二自然段，完成下列问题． 幂函数：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x－是幂函数．(　　) (2)函数y＝2－x是幂函数．(　　) (3)函数y＝－x是幂函数．(　　) 【解析】　(1)√.函数y＝x－符合幂函数的定义，所以是幂函数； (2)×.幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y＝2－x不是幂函数； (3)×.幂函数中xα的系数必须为1，所以y＝－x不是幂函数． 【答案】　(1)√　(2)×　(3)× 教材整理2　幂函数的图象与性质 阅读教材P77倒数第二自然段至P78“例1”以上部分，完成下列问题． 幂函数的图象与性质：幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图 象 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈(0，＋∞)增 x∈(－∞，0]减 增 增 x∈(0，＋∞)减 x∈(－∞，0)减公共点 (1,1) 幂函数的图象过点(3, )，则它的单调递增区间是(　　) A．[－1，＋∞)　　　　　　　B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0) 【解析】　设幂函数为f(x)＝xα，因为幂函数的图象过点(3, )，所以f(3)＝3α＝＝3，解得α＝，所以f(x)＝x，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B. 【答案】　B [小组合作型] 幂函数的概念 　(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 (2)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2, )，则f(9)＝________. (3)幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm＋m2在(0，＋∞)上是减函数，则m＝________. 【精彩点拨】　(1)结合幂函数y＝xα的定义判断． (2)由幂函数的定义设出解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f(9)的值． (3)利用幂函数的概念可得到关于m的关系式，解之即可． 【自主解答】　(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B. (2)由题意，令y＝f(x)＝xα，由于图象过点(2，)，得＝2α，α＝，∴y＝f(x)＝x，∴f(9)＝3. (3)∵f(x)＝(m2－2m－2)xm＋m2在(0，＋∞)上是减函数，∴ ∴m＝－1. 【答案】　(1)B　(2)3　(3)－1 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即：(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1. [再练一题] 1．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________. 【导学号 【解析】　设f(x)＝xα，因为f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴f＝log23＝. 【答案】　 幂函数的图象与性质 　 (1)如图2-3-1所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) 图2-3-1A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2,2， D．2，，－2，－ (2)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋3)－(5－2a)－的a的取值范围． 【精彩点拨】　(1)根据幂函数的图象特征与性质确定相应的函数图象； (2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m的值，再利用幂函数的单调性求解关于a的不等式． 【自主解答】　(1)根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝，当n0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B. 【答案】　B (2)因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－90，解得m3，又m∈N*，所以m＝1,2. 因为函数的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，则原不等式可化为(a＋3)－(5－2a)－. 因为y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋35－2a0或5－2aa＋30或a＋305－2a，解