2018年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）章末分层突破学案 新人教A版必修1.docVIP

第二章 基本初等函数（Ⅰ）章末分层突破 [自我校对] ①分数指数幂 ②互为反函数 ③对数函数 ④y＝logax(a＞0，且a≠1) ⑤x＝logaN(a0，且a≠1) ⑥y＝xα 指数、对数的运算 解决这类问题首先要熟练掌握指数式、对数式的运算法则，熟练掌握各种变形．如N＝a，ab＝N，logaN＝b(其中N 0，a0，a≠1)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算． 　计算： (1)2log32－log3＋log38－5log53； (2)0.064－－0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋0.01. 【精彩点拨】　(1)利用对数的运算法则、对数恒等式即可得出； (2)利用指数幂的运算法则即可得出． 【规范解答】　(1)原式＝log3－3＝2－3＝－1. (2)原式＝0.43×－1＋2－4＋24×＋0.1＝－1＋＋＋＝. [再练一题] 1．计算： (1)－0＋0.25×－4； (2)log3＋2log510＋log50.25＋71－log72. 【解】　(1)原式＝－4－1＋×()4＝－3. (2)原式＝log3＋log5(100×0.25)＋7÷7log72＝log33－＋log552＋＝－＋2＋＝. 指数、对数型函数的定义域、值域 求指数型与对数型函数的定义域主要通过构建不等式(组)来求解，有时解不等式(组)时要借助于指数、对数函数的单调性． 涉及指数、对数函数的值域问题有两个类型，一是形如y＝af(x)和y＝logaf(x)的函数，一般要先求f(x)的值域，然后利用指数、对数的单调性求解；二是形如y＝f(ax)和y＝f(logax)的函数，则要根据ax和logax的范围，利用函数y＝f(x)的性质求解． 　(1)求函数y＝x2－2x＋2(0≤x≤3)的值域； (2)已知－3≤logx≤－，求函数f(x)＝log2·log2的最大值和最小值． 【精彩点拨】　(1)令t＝x2－2x＋2，则y＝t.根据x的范围，求得t的范围，可得函数y＝t的范围． (2)由f(x)＝log2·log2＝(log2x－1)(log2x－2)＝(log2x)2－3log2x＋2，结合二次函数的性质即可求解． 【规范解答】　(1)令t＝x2－2x＋2，则y＝t. 又t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1,0≤x≤3， ∴当x＝1时，tmin＝1；当x＝3时，tmax＝5. 故1≤t≤5，∴5≤y≤1， 故所求函数的值域为. (2)∵－3≤logx≤－，∴≤log2x≤3， ∴f(x)＝log2·log2＝(log2x－1)(log2x－2)＝(log2x)2－3log2x＋2＝2－. 当log2x＝3时，f(x)max＝2； 当log2x＝时，f(x)min＝－. [再练一题] 2．设0≤x≤2，y＝4x－－3·2x＋5，试求该函数的最值． 【导学号 【解】　令k＝2x(0≤x≤2)，∴1≤k≤4，则 y＝22x－1－3·2x＋5＝k2－3k＋5. 又y＝(k－3)2＋，k∈[1,4]， ∴y＝(k－3)2＋在k∈[1,3]上是减函数， 在k∈[3,4]上是增函数，∴当k＝3时，ymin＝； 当k＝1时，ymax＝. 即函数的最大值为，最小值为. 幂、指数、对数函数的图象和性质 解决此类问题要熟练掌握指数、对数、幂函数的图象和性质，方程与不等式的求解可利用函数的单调性进行转化，也可利用图象解决，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根． 对于图象的判断与选择可利用图象的变换，也要重视利用特殊点与选择题中排除法的应用． 　当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　) A.　　　　　　B. C．(1，) D．(，2) 【精彩点拨】　由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可． 【规范解答】　当0＜x≤时，1＜4x≤2，要使4x＜logax，由对数函数的性质可得0＜a＜1， 数形结合可知只需2＜logax，∴即对0＜x≤时恒成立，∴解得＜a＜1，故选B. 【答案】　B [再练一题] 3．若loga2＜0(a＞0，且a≠1)，则函数f(x)＝ax＋1的图象大致是(　　) 【解析】　由loga2＜0(a＞0，且a≠1)，可得0＜a＜1，函数f(x)＝ax＋1＝a·ax， 故函数f(x)在R上是减函数，且经过点(0，a)，故选A. 【答案】　A 比较大小问题 数的大小比较常用方法： (1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、