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2018年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)章末分层突破学案 新人教A版必修1
第二章 基本初等函数(Ⅰ)章末分层突破
[自我校对]
①分数指数幂
②互为反函数
③对数函数
④y=logax(a>0,且a≠1)
⑤x=logaN(a0,且a≠1)
⑥y=xα
指数、对数的运算 解决这类问题首先要熟练掌握指数式、对数式的运算法则,熟练掌握各种变形.如N=a,ab=N,logaN=b(其中N 0,a0,a≠1)是同一数量关系的不同表示形式,因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化,选择适合题目的形式进行运算.
计算:
(1)2log32-log3+log38-5log53;
(2)0.064--0+[(-2)3]-+16-0.75+0.01.
【精彩点拨】 (1)利用对数的运算法则、对数恒等式即可得出;
(2)利用指数幂的运算法则即可得出.
【规范解答】 (1)原式=log3-3=2-3=-1.
(2)原式=0.43×-1+2-4+24×+0.1=-1+++=.
[再练一题]
1.计算:
(1)-0+0.25×-4;
(2)log3+2log510+log50.25+71-log72.
【解】 (1)原式=-4-1+×()4=-3.
(2)原式=log3+log5(100×0.25)+7÷7log72=log33-+log552+=-+2+=.
指数、对数型函数的定义域、值域 求指数型与对数型函数的定义域主要通过构建不等式(组)来求解,有时解不等式(组)时要借助于指数、对数函数的单调性.
涉及指数、对数函数的值域问题有两个类型,一是形如y=af(x)和y=logaf(x)的函数,一般要先求f(x)的值域,然后利用指数、对数的单调性求解;二是形如y=f(ax)和y=f(logax)的函数,则要根据ax和logax的范围,利用函数y=f(x)的性质求解.
(1)求函数y=x2-2x+2(0≤x≤3)的值域;
(2)已知-3≤logx≤-,求函数f(x)=log2·log2的最大值和最小值.
【精彩点拨】 (1)令t=x2-2x+2,则y=t.根据x的范围,求得t的范围,可得函数y=t的范围.
(2)由f(x)=log2·log2=(log2x-1)(log2x-2)=(log2x)2-3log2x+2,结合二次函数的性质即可求解.
【规范解答】 (1)令t=x2-2x+2,则y=t.
又t=x2-2x+2=(x-1)2+1,0≤x≤3,
∴当x=1时,tmin=1;当x=3时,tmax=5.
故1≤t≤5,∴5≤y≤1,
故所求函数的值域为.
(2)∵-3≤logx≤-,∴≤log2x≤3,
∴f(x)=log2·log2=(log2x-1)(log2x-2)=(log2x)2-3log2x+2=2-.
当log2x=3时,f(x)max=2;
当log2x=时,f(x)min=-.
[再练一题]
2.设0≤x≤2,y=4x--3·2x+5,试求该函数的最值.
【导学号
【解】 令k=2x(0≤x≤2),∴1≤k≤4,则
y=22x-1-3·2x+5=k2-3k+5.
又y=(k-3)2+,k∈[1,4],
∴y=(k-3)2+在k∈[1,3]上是减函数,
在k∈[3,4]上是增函数,∴当k=3时,ymin=;
当k=1时,ymax=.
即函数的最大值为,最小值为.
幂、指数、对数函数的图象和性质 解决此类问题要熟练掌握指数、对数、幂函数的图象和性质,方程与不等式的求解可利用函数的单调性进行转化,也可利用图象解决,对含参数的问题进行分类讨论,同时还要注意变量本身的取值范围,以免出现增根.
对于图象的判断与选择可利用图象的变换,也要重视利用特殊点与选择题中排除法的应用.
当0<x≤时,4x<logax,则a的取值范围是( )
A. B.
C.(1,) D.(,2)
【精彩点拨】 由指数函数和对数函数的图象和性质,将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可.
【规范解答】 当0<x≤时,1<4x≤2,要使4x<logax,由对数函数的性质可得0<a<1,
数形结合可知只需2<logax,∴即对0<x≤时恒成立,∴解得<a<1,故选B.
【答案】 B
[再练一题]
3.若loga2<0(a>0,且a≠1),则函数f(x)=ax+1的图象大致是( )
【解析】 由loga2<0(a>0,且a≠1),可得0<a<1,函数f(x)=ax+1=a·ax,
故函数f(x)在R上是减函数,且经过点(0,a),故选A.
【答案】 A
比较大小问题 数的大小比较常用方法:
(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型,主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、
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