2018年高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨 3.3 平面与圆锥面的截线同步检测（含解析）新人教A版选修4-1.docVIP

3.3平面与圆锥面的截线同步检测 一、选择题在圆锥内部嵌入Dandelin双球,一个位于平面π的上方,一个位于平面π的下方,并且与平面π及圆锥均相切.若平面π与双球的切点不重合,则平面π与圆锥面的截线是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线答案：由于平面π与双球的切点不重合,则平面π与圆锥母线不平行,且只与圆锥的一半相交,则截线是椭圆.Dandelin双球 已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形,用一个与轴线成30°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时,所截得的截线的离心率为（ ） A. B. C. D. 答案：圆锥的轴截面为等腰直角三角形,所以母线与轴线的夹角α=45°. 又截面与轴线的夹角β=30°,即βα,截线是双曲线,其离心率e= 圆锥曲线的离心率公式:e=,其中β为平面与轴的交角,α为母线与轴的交角. 以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆和相应准线相切,则这样的圆锥曲线是（ ） A.不存在的 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线答案：由圆锥曲线的定义知,截线是抛物线,应选D. 圆锥的顶角为50°,圆锥的截面与轴线所成的角为30°,则截线是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线答案：由已知α==25°,β=30°,βα,故截线是椭圆,故选B. 平面π与圆锥的轴线平行,圆锥母线与轴线夹角为60°,则平面与圆锥交线的离心率是（ ） A.2 B. C. D.2答案：设平面与轴线夹角为β,母线与轴线夹角为α,由题意,知β=0°,α=60°,故e==2 已知双曲线两个焦点的距离为10,双曲线上任一点到两个焦点距离之差的绝对值为6,则双曲线的离心率为 （ ） A. B. C.1 D. 答案：设双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c.由题意知,2c=10,2a=6,故e= 平面与圆锥轴线夹角为45°,圆锥母线与轴线夹角为60°,平面与圆锥面交线的轴长为2,则所得圆锥曲线的焦距为（ ） A. B.2 C.4 D. 答案：e=,∴ .∴c=,2c=2. 分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线结合所给截面计算即可 8. 圆锥的顶角为60°，截面与母线所成的角为60°，则截面所截得的截线是 圆 椭圆 双曲线 抛物线答案：由题意知截面与圆锥的轴线成90°角，即是圆锥的正截面，故截线为圆. 工人师傅在如图1的一块矩形铁皮上画一条曲线，沿曲线剪开，将所得到的两部分卷成圆柱状，如图2，然后将其对接，可做成一个直角的“拐脖”，如图3．工人师傅所画的曲线是（ ） A.一段圆弧 B.一段抛物线 C.一段双曲线 D.一段正弦曲线 答案：将图2剪开展成平面图分析可知，曲线为轴对称图形，将图3剪开展成平面图分析可知，曲线也为中心对称图形．所以此曲线即为轴对称图形又为中心对称图形，故只有D正确． 故选：D．利用平面图分析曲线的对称性，即可得出结论 如图所示，圆锥SO的轴截面SAB是边长为4的正三角形，M为母线SB的中点，过直线AM作平面β面SAB，设β与圆锥侧面的交线为椭圆C，则椭圆C的短半轴长为 A. B. C. D. 答案：过椭圆C作平行于圆锥底面的截面（圆形），交AS，BS于R，T，交椭圆C于两点P，Q，则P，Q即是椭圆短半轴顶点，在所作的圆中，RT为直径，如图， 因为轴截面SAB是边长为4的正三角形，C为AM的中点，所以，，因为PQRT，所以PC＝CQ，所以利用相交弦定理可得：PC·CQ＝TC·RC，所以.所以橄圆C的短半轴为. 分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线的性质结合所给几何关系利用相交弦的性质分析计算即可 11. 轴截面是边长为4的等边三角形的圆锥的直观图如图所示,过底面圆周上任一点作一平面α,且α与底面所成的二面角为,已知α与圆锥侧面交线的曲线为椭圆,则此椭圆的离心率为 A. B. C. D. 答案：本题综合考查空间几何体中的线面关系与解析几何中直线与直线的位置关系以及平面几何中圆的相关定理的应用,意在考查数形结合思想与空间想象能力. 如图,根据轴截面是边长为4的等边三角形,可知椭圆的长轴长为AB=6,设O为椭圆的中心,则a=OB=OA=3,过O作平行于底面的平面,可得到截面圆,交椭圆于两点C、D,则C、D即是椭圆短半轴的顶点.根据题意知ABBF,在直角三角形OBF中,OBF=90°，所以FO=2,F是BP的中点,过点B作AP的平行线,交AM于点G,则E是AG的中点,所以OE=AP=,由相交弦定理得CO2=OF×OE,所以b2=6,所以c2=a2-b2=3,所以椭圆的离心率为. 分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线满足的有关条