2018年高中数学 第三章 函数的应用 3.1.2 用二分法求方程的近似解学案 新人教A版必修1.docVIP

3.1.2　用二分法求方程的近似解 1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点) 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点) 3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．(易混点) [基础·初探] 教材整理　二分法的概念及用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 阅读教材P89～P90“例2”以上部分，完成下列问题． 1．二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解． 2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 (1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)； ①若f(c)＝0，则c就是函数的零点； ②若f(a)·f(c)0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))； ③若f(c)·f(b)0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))． (4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二分法所求出的方程的解都是近似解．(　　) (2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．(　　) (3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．(　　) 【解析】　(1)×.如函数x－2＝0用二分法求出的解就是精确解． (2)×.对于函数f(x)＝|x|，不存在区间(a，b)，使f(a)·f(b)0，所以不能用二分法求其零点． (3)×.函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)× [小组合作型] 二分法的概念 　(1)已知函数f(x)的图象如图3-1-1所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　) A．4,4　　　 B．3,4　　　 C．5,4　　　 D．4,3 图3-1-1 (2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1,3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________． 【精彩点拨】　(1)依据二分法的概念求解．(2)依据f(1)，f(2)，f(3)的符号作出判断． 【自主解答】　(1)图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3. (2)设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2＜0，f(3)＝10＞0，f(2)＝3＞0，f(x)零点所在的区间为(1,2)，∴方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1,2)． 【答案】　(1)D　(2)(1,2) 二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点，因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用. [再练一题] 1．下列函数中能用二分法求零点的是(　　) 【导学号 【解析】　在A和D中，函数虽有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点．在B中，函数无零点．在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点． 【答案】　C 用二分法求函数零点的近似值 　证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一一个零点，并求出这个零点．(精确度为0.1) 【精彩点拨】　判断f(1)·f(2)0是否成立，再根据函数的单调性，确定零点的唯一性，最后用二分法求零点． 【自主解答】　设函数f(x)＝2x＋3x－6.∵f(1)＝－10，f(2)＝40.∴f(x)在区间(1,2)内有零点．又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一的零点．设该零点为x0，则x0∈(1,2)，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.330，f(1)·f(1.5)0，∴x0∈(1,1.5)． 取x2＝1.25，f(1.25)＝0.1280，f(1)·f(1.25)0，∴x0∈(1,1.25)． 取x3＝1.125，f(1.125)＝－0.440，f(1.125)·f(1.25)0，∴x0∈(1.125,1.25)． 取x4＝1.187 5，f(1.187 5)＝－0.160，f(1.187 5)·f(1.25)0.∴x0∈(1.187 5,1.25)． ∵|1.25－1.187 5|＝0.062 50.1， ∴可取x0＝1.25，则该函数的零点近似解可取x0＝1.25. 用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的