2018年高中数学 第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型学案 新人教A版必修1.docVIP

3．2　函数模型及其应用 3．2.1　几类不同增长的函数模型 1．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点) 2．区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点) 3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点) [基础·初探] 教材整理　几类不同增长的函数模型 阅读教材P98～P101，完成下列问题． 1．三种函数模型的性质 　　函数 性质　　 y＝ax (a1) y＝logax(a1) y＝xn(n0) 在(0，＋∞)上 的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化 随x的增大逐渐与y轴平行 随x的增大逐渐与x轴平行 随n值的不同而不同 2.三种函数增长速度的比较 (1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a1)，y＝logax(a1)和y＝xn(n0)都是增函数，但增长进度不同，且不在同一个“档次”上． (2)随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n0)的增长速度，而y＝logax(a1)的增长速度越来越慢． (3)存在一个x0，当xx0时，有axxnlogax. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．(　　) (2)函数y＝logx衰减的速度越来越慢．(　　) (3)不存在一个实数m，使得当xm时，1.1xx100.(　　) 【解析】　(1)√.因为一次函数的图象是直线，所以当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值． (2)√.由函数y＝logx的图象可知其衰减的速度越来越慢． (3)×.根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当xm时，1.1xx100. 【答案】　(1)√　(2)√　(3)× [小组合作型] 函数模型的增长差异 　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)　　 　　　　　　 　　　　　 A．y＝2 016x B．y＝x2 016 C．y＝log2 016x D．y＝2 016x (2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________． 【精彩点拨】　指数函数增长速度最快． 【自主解答】　(1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A. (2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2. 【答案】　(1)A　(2)y2 1．指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”． 2．对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢． 3．幂函数模型y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． [再练一题] 1．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(　　) 【导学号 A．y＝ex B．y＝100ln x C．y＝x100 D．y＝100·2x 【解析】　指数函数y＝ax，在a1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A. 【答案】　A 根据函数图象确定函数模型 　 图3-2-1 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图3-2-1所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 016)，g(2 016)的大小． 【精彩点拨】　根据指数函数、幂函数的增长差异进行判断． 【自主解答】　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)， ∴1＜x1＜2,9＜x2＜10， ∴x1＜6＜x2,2 016＞x2. 从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)， ∴f(6)＜g(6)； 当x＞x2时，f(x)＞g(x)， ∴f(2 016)＞g(2 016)． 又g(2 016)＞g(6)， ∴f(2 016)＞g(2 016)＞g(6)＞f(6)．