2018年高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点学案 新人教A版必修1.docVIP

3.1.1 方程的根与函数的零点 3．1　函数与方程 3．1.1　方程的根与函数的零点 1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点) 2．会求函数的零点．(重点) 3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点) [基础·初探] 教材整理1　函数的零点 阅读教材P86～P87“探究”以上部分，完成下列问题． 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与根的关系 Δ0 Δ＝0 Δ0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)， (x2,0) (x1,0) 无交点 2.函数的零点 对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 3．方程、函数、函数图象之间的关系 方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝3x－2的零点是.(　　) (2)函数y＝f(x)零点的个数与方程f(x)＝0根的个数相等．(　　) (3)函数y＝2x－1，x∈[2,3]的零点为0.(　　) 【解析】　(1)×.函数的零点是使f(x)＝0的实数x，而不是点； (2)√.由函数零点与方程根的关系可知(2)正确； (3)×.因为0?[2,3]，所以(3)错． 【答案】　(1)×　(2)√　(3)× 教材整理2　函数零点存在性定理 阅读教材P87“探究”～P88“例1”以上部分，完成下列问题． 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 函数f(x)＝－ln x的零点所在的大致区间是(　　)　　 　　　　　　 　　　　　 A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(e，＋∞) 【解析】　∵f(2)＝－ln 2＞0，f(3)＝1－ln 3＜0，∴f(2)·f(3)＜0，∴函数f(x)＝－ln x的零点所在的大致区间是(2,3)，故选B. 【答案】　B [小组合作型] 求函数的零点 　(1)函数y＝1＋的零点是(　　)　　 　　　　　　 　　　　　 A．(－1,0) B．x＝－1 C．x＝1 D．x＝0 (2)设函数f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为________． 【精彩点拨】　求函数对应方程的根，即为函数的零点． 【自主解答】　(1)令1＋＝0，解得x＝－1，故选B. (2)令f(x)＝21－x－4＝0，解得x＝－1，即f(x)的零点为－1，令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2. 【答案】　(1)B　(2)－2 求函数的零点时，通常转化为解方程f?x?＝0，若方程f?x?＝0有实数根，则函数f?x?存在零点，该方程的根就是函数f?x?的零点；否则，函数f?x?不存在零点. [再练一题] 1．函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________. 【导学号 【解析】　∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，∴2a＋b＝0，即b＝－2a. ∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)． 令－ax(2x＋1)＝0，即x＝0，或x＝－， ∴函数g(x)＝bx2－ax的零点是0，－. 【答案】　0，－ 函数零点个数的判断 　判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－. 【精彩点拨】　(1)中f(x)为二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法或转化为两个熟知的基本初等函数y＝x2与y＝的图象交点的个数． 【自主解答】　(1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝10， ∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点． (2)法一　令f(x)＝0，即x2－＝0. ∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0. ∴x＝1或x2＋x＋1＝0. ∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－30， ∴方程x2＋x＋1＝0无实数根． ∴函数f(x)只有一个零点． 法二　由x2－＝0，得x2＝. 令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝. 在同一坐标系中分别画出h(x)和g(x)的图象，如图所示．可知两函数图象只有一个交点，故函数f(x)＝x2