2018年高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例学案 新人教A版必修1.docVIP

3.2.2　函数模型的应用实例 1．会利用给定的函数模型解决实际问题．(重点) 2．能够建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题．(重点、难点) [基础·初探] 教材整理　函数模型的应用 阅读教材P101～P106，完成下列问题． 1．常见的函数模型 函数模型 函数解析式 (1)正比例函数模型 f(x)＝kx(k为常数，k≠0) (2)反比例函数模型 f(x)＝(k为常数，k≠0) (3)一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) (4)二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) (5)指数函数模型 f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b0，b≠1) (6)对数函数模型 f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a0，a≠1) (7)幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1) (8)分段函数模型 f(x)＝ 2.建立函数模型解决问题的框图表示 图3-2-6 1．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到(　　) A．300只　　　　　　　 B．400只 C．600只 D．700只 【解析】　将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300. 【答案】　A 2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　) A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000) B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000) C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000) D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000) 【解析】　由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)． 【答案】　D [小组合作型] 一次函数、二次函数模型的应用 　商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问： (1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？ (2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？ 【精彩点拨】　(1)先设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，列出函数y的解析式，最后利用二次函数的最值即可求得商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元即可； (2)由题意得出关于x的方程式，解得x值，从而即可解决商场要获取最大利润的75%，每件标价为多少元． 【自主解答】　(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元， 则x∈(100,300]，n＝kx＋b(k＜0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k， ∴n＝k(x－300)，y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100,300])， ∵k＜0，∴x＝200时，ymax＝－10 000k， 即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元． (2)由题意得，k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%， 即x2－400x＋37 500＝0，解得x＝250或x＝150. 所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元． 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题. [再练一题] 1．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，求供水开始几小时后，蓄水池中的存水量最少. 【导学号 【解】　设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100(0≤t≤24)，设u＝，则u∈[0，2]，y＝60u2－100u＋400＝602＋150， ∴当u＝，即t＝时，蓄水池中的存水量最少． 指数函数、对数函数模型的应用 　声强级Y(单位：分贝)由公式