2018年高中数学 第一章 解三角形 1.2 解三角形应用举例教学设计 新人教A版必修5.docVIP

解三角形应用举例 教学目标 一、知识与技能 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语，如:坡度、俯角、方向角、方位角等 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题 3、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题 4、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题 5、掌握三角形的面积公式的简单推导和应用 二、教学重点 1、分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法； 2结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题； 3、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系； 4、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目. 三、教学难点 1、实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图； 2、能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件； 3、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题； 4、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题. 四、教学过程 解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解. ［例题剖析］ 【例1】如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，∠BAC=51°，∠ACB=75°．求A、B两点的距离.(精确到0.1 m) 解：根据正弦定理，得 ， ≈65.7(m). 答:A、B两点间的距离为65.7米. 【例2】如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动，当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处，设连杆AB长为340 mm，曲柄CB长为85 mm，曲柄自CB0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）.（精确到1 mm） 　　 解：（如图）在△ABC中，由正弦定理可得 ≈0.246 2. 因为BC＜AB，所以A为锐角. ∴A=14°15′，∴ B＝180°-（A＋C）＝85°45′. 又由正弦定理， ≈344.3(mm). ∴A0A =A0C –AC =(AB +BC)-AC =(340+85)-344.3=80.7≈81(mm). 答：活塞移动的距离为81 mm． 【例3】AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法． 解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上．由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α、β，CD = A，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得,AB=AE+h=acsinα+h=+h. 【例4】如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β=50°1′．已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m). 解：在△ABC中,∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC =α-β,∠BAD =α. 根据正弦定理, =，所以. 在Rt△ABD中,得BD =ABsin∠BAD=. 将测量数据代入上式,得≈177(m), CD =BD -BC≈177-27.3=150(m). 【例5】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上,行驶5 km后到达B处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD. 解：在△ABC中, ∠A=15°,∠C=25°-15°=10°,根据正弦定理, ,≈ 7.452 4(km), CD=BC×tan∠DBC=BC×tan8°≈1 047(m). 答:山的高度约为1 047米. 课堂练习 用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角α和β,已知BD间的距离为A,测角仪的高度为B,求气球的高度. 分析:在Rt△EGA中求解EG,只有角α一个条件,需要再有一边长被确定,而△EAC中有较多已知条件,故可在△EAC中考虑EA边长的求解,而在△EAC中有角β, ∠EAC=180°-α两角与AC=BD=A一边,故可以利用正弦定理求解EA. 解：在△ACE中,AC=BD=A,∠ACE=β,∠AEC=α-β,根据正弦定理,得 .在Rt△AEG中，EG=AEsinα=. ∴EF=EG+b=. 答:气球的高度是. 【例6】（幻灯片放映）如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75° 的方向航行67.5 n mi