材料力学第4章扭转.pptVIP

?可见，相对扭转角φ与扭矩T、长度l成正比，与GIp成反比。GIp越大，扭转角φ越小，所以GIp称为圆轴的抗扭刚度，它反映了圆轴抵抗扭转变形的能力。对于各段扭矩不等或横截面不同的圆轴，应分段计算相对扭转角，再求其代数和，即? 例4.4如图4.19(a)所示的圆轴，直径d=80 mm，材料的剪切弹性模量G=80 GPa。试求：(1)B，C两截面间的相对扭转角φBC；(2)D，A两截面间的相对扭转角φDA。  图4.19 解根据轴所承受的载荷，画出扭矩图如图4.19(b)所示。所以根据式(4.19)，B，C两截面间的相对扭转角根据式(4.20)，D，A两截面的相对扭转角(3)圆轴扭转的刚度条件公式(4.19)表明，相对扭转角φ与轴的长度l有关。为了消除长度的影响，用φ对x的变化率 来表示扭转变形的程度。用φ′表示变化率 ，由式(4.9)可得式中φ′——相距为1单位长度的两截面的相对扭转角，称为单位长度扭转角，rad/m。 工程实际中，通常是限制单位长度扭转角φ′的最大值不能超过规定的单位长度扭转角［φ′］。所以，圆轴扭转的刚度条件为??工程中，习惯把(°)/m作为［φ′］的单位。所以式(4.21)可改写为?［φ′］是根据载荷性质及圆轴的使用要求来规定的。精密机器轴的［φ′］常取0.25～0.5(°)/m，一般传动轴则可取2(°)/m左右，具体数值可从有关规范和手册中查到。 例4.5某机器的传动轴如图4.20(a)所示。已知主动轮A的输入功率P1=367 kW，３个从动轮B，C，D的输出功率分别为P2=P3=110 kW，P4=147 kW，轴的转速为n=300 r/min，材料的许用切应力［ ］=40 MPa，剪切弹性模量G=80 GPa，规定的单位长度扭转角［φ′］=0.3(°)/m。试设计轴的直径。  图4.20 解(1)计算外力偶矩，依据式(4.1)??? (2)绘制扭矩图用截面法求得BC，CA，AD各段的扭矩分别为?所绘制的扭矩图如图4.20(b)所示。可见，Tmax=7.0×103N·m。 (3)确定轴的直径由强度条件(式(4.17))，解得??由刚度条件，依据公式(4.21)有?? 解得??根据以上计算结果，为了同时满足强度和刚度要求，选取轴的直径为d=115 mm。 ?4.5.2扭转超静定问题杆在扭转时，如支座反力矩仅用静力平衡方程不能求出，这类问题称为扭转超静定问题。 其求解方法与拉压超静定问题类似。现举例说明。   图4.21 如图4.21所示的圆杆A，B两端固定。在C截面处作用一扭转外力偶矩M后，两固定端产生约束反力偶矩MA和 MB。由静力学平衡方程得到?显然，由式(a)不能求出MA和MB的大小，这是一次扭转超静定问题。为了求出 MA和MB，必须考虑变形谐调条件。杆在M的作用下，C截面绕杆的轴线转动。截面C相对于A端产生扭转角为φCA，相对于B端产生扭转角为φCB。由于A，B两端固定φCA和 φCB的数值相等，这就是变形谐调条件。由此得变形协调方程为?? 设杆的扭转刚度为 GIP，由式(4.19)得??将式(c)代入式(b)后，得到补充方程为??由式(a)和式(d)，求得?? 4.6*非圆截面杆扭转前面介绍了圆轴的扭转，但是，工程实际中，有些受扭构件的横截面并非圆形。例如，内燃机、压缩机曲轴的曲柄臂、雨篷梁等。以矩形截面杆的扭转为例，由于截面不具有轴对称的性质，因此，扭转后横截面上除对称轴外，有轴向位移产生，从而使变形后杆件的横截面不再保持为平面，这种现象称为翘曲，如图4.22(b)所示。所以，平面假设对非圆截面杆的扭转不再适用。  图4.22 非圆截面杆扭转时，如果各横截面均可自由翘曲，且翘曲形状完全相同，则横截面上将只有切应力而无正应力，这种情况称为自由扭转。不符合上述情况的扭转，称为约束扭转，这时横截面上将不仅有切应力，还有正应力。精确分析表明，一般实心截面杆约束扭转时的正应力很小，故可略去不计。但是，对非圆薄壁截面杆，其约束扭转的正应力是不能忽略的。本书仅简要介绍关于矩形截面杆自由扭转的一些主要结果。  图4.23 根据弹性