材料力学第12章 能量法.pptVIP

实际上B处并无力作用，故应令上式中的附加力P′=0时，才是实际情况下B处的位移值。所以令P′=0，则例12.5如图12.18（a）所示刚架的抗弯刚度EI已知，不考虑轴力和剪力对变形的影响，试用卡式定理第二定理求自由端C截面的铅垂位移和转角。图12.18解在计算C截面的铅垂位移Δc时，由于C处无铅垂方向的集中外力，需在该处附加一个铅垂方向的虚设外力FP，如图12.18（b）所示，则各段的弯矩方程及偏导数分别为BC段DB段BA段在应用卡式定理积分时，可先令FP=0，从而使刚架的受力与原来的一致，即 在计算C截面的转角θc时，由于C处无集中外力偶，需在C截面处附加一个虚设外力偶M，如图12.21（c）所示，则各段的弯矩方程及偏导数分别为BC段DB段BA段 图12.18在应用卡式定理积分时，同样先令M=0，从而使刚架的受力与原来的一致， 综上所述，不论是线性弹性或是非线性弹性体，利用卡式定理计算结构的位移及求解静不定问题都是较为简便的。 12.6单位荷载法莫尔积分12.6.1变形体虚功原理虚位移指的是弹性体（或结构系）满足约束条件及连续条件的无限小可能位移。所谓虚位移的“虚”表示它可以与真实的受力结构的变形而产生的真实位移无关，而可能由于其他原因（如温度变化，或其他外力系，或是其他干 扰）造成的满足位移约束、连续条件的可能的几何位移。对于虚位移要求是微小位移，即要求在产生虚位移过程中不改变原受力平衡体的力的作用方向与大小，亦即受力平衡体平衡状态不因产生虚位移而改变。真实力在虚位移上做的功称为虚功。 图12.19虚功原理又称虚位移原理。如果给在载荷系作用下处于平衡的可变形结构以微小虚位移，则外力系在虚位移上所做的虚功等于内力在相应虚变形上所做的虚功，即虚功原理可以用梁的例子给出其表达式。图12.19，12.20（a）梁受外力P1 ，P2，…，Pn及分布载荷q(x)作用而处于平衡。给此梁任一虚位移，则所有载荷作用点均有沿其作用方向的虚位移v*1，v*2，…，v*n，v*(x)，于是外力在相应虚位移上的总虚功为而由于该微段本身变形所引起的虚位移称为变形虚位移。由于微段处于平衡状态，由质点系虚位移原理知，所有外力对于该微段的刚体虚位移所做的总虚功必等于零。而该微段的变形虚位移为如图12.20（c）、（d）、（e）、（f）所示，此时轴力、弯矩、剪力、扭矩在变形虚位移上所做的虚功为（略去高阶小量）根据能量守恒，这两个总虚功相等，故有：  图12.20在导出虚功原理时，并没有涉及应力—应变关系，因此与材料性质无关，故这一原理可用于线性弹性材料，也可用于非线性应力—应变关系的材料。12.6.2单位载荷法与莫尔积分利用虚功原理可以导出计算结构上某一点某方向上位移的单位载荷法。如图12.21（a）所示的刚架，要求A点a—a方向的位移Δ，可将该系统的真实位移作为虚位移，而将单位力（广义力）作用于同一结构上A点a—a方向的结 构作为一个平衡力系（见图12.21（b）），则应用虚功原理有： 图12.22对于拉压杆件，则只保留式（12.28）的第一项：若杆的内力N(x)为常数，则式（12.29）可改为对于有n根杆组成的桁架，则有 对于杆以弯曲为主，则可忽略轴力与剪力的影响，有如要求受扭杆某一截面的扭转角Δ，则以单位扭矩作用于该截面，并引起扭矩T(x)，以原结构引起微段两端截面相对扭转角dφ为虚位移，则以上诸式中，如求出的Δ为正，则表示原结构位移与所加单位力方向一致。这种通过添加单位力求解结构变形的方法称为单位荷载法。若结构材料是线弹性的，则有 上述式（12.33）、式（12.34）、式（12.35）统称为莫尔定理，式中积分称为莫尔积分，显然只适用于线弹性结构。当需要求两点的相对位移时，如图12.22（a）所示截面A与B的相对位移ΔA+ΔB，则只要在A，B两点的联线方向上加一对方向相反的单位力，如图12.22（b）所示。然后用单位载荷法计算，即可求得相对位移，因为这时的Δ=1·ΔA+1·ΔB，即是A，B两点的相对位移。同理，如需要求两截面相对转角，只要在所求两截面上加方向相反的一对单位力偶矩即可。例12.6如图12.23（a）所示外伸梁，其抗弯刚度为 EI。求C点的挠度和转角