材料力学第8章应力状态分析.pptVIP

3．平面应力状态下的主方向为??上式确定了两个相互垂直的主平面α0和α′0 =α0+ 90°，两个主平面上的主应力计算式为??4．平面应力状态下的极值切应力及作用面方向为????? 5．一点的应力状态可用σ坐标系内的应力圆分析应力表示，应力圆圆心C的坐标为 ，其半径为 。在使用应力圆分析应力状态时应遵循以下原则：（1）应力圆圆周上每一个点都对应于单元体上的一个面，点的纵坐标和横坐标就是该截面的正应力和切应力；（2）应力圆上两点之间的圆心角，等于单元体上两个相应截面所夹角度的2倍，而且圆心角的转向与截面法线间的转向相同。 6．三向应力圆与最大切应力：对于三向应力状态，用3个主应力可以确定3个两两相切的应力圆，这个图形称为三向应力圆。任意斜截面在三向应力圆中对应的点，必位于如图8.10（d）所示3个圆的圆周或所其构成的阴影区域内。其中纵坐标的最大值对应着单元体任意截面上的最大切应力，其值为?? 7．在复杂应力状态下，应力与应变之间的关系称为广义胡克定律。平面应力状态下的广义胡克定律为???一般三向应力状态下的广义胡克定律表示为????及???? 8．3．3用应力圆分析主应力、主平面和极值切应力用应力圆可以方便地确定主应力、主平面和极值切应力。从图8.7（a）可以看出，因为应力圆的圆心在σ轴上，所以最大正应力σmax和最小正应力σmin所对应的点即为圆周上横坐标最大和最小的 两个点，即A和 B两点，因此主应力的大小分别为 ? 图8.7 ?将式（8.12）和式（8.5）比较可知，用解析法和应力圆法得到的结果相同。D点与A点之间的圆心角为顺时针 ，与式（8.4）比较可知，这就是主平面与 x 截面之间的夹角计算公式；A点和B点在应力圆上的圆心角为180°，所以两个主平面在单元体上的夹角为90°，即主平面互相垂直。在应力圆图8.7(a)中，D，E点及A，B点对应的单元体方位及应力状态如图8.7(b)所示。从图8.7（a）还可以看出，K，M两点为极值切应力点，极值切应力的大小等于应力圆的半径，但符号相反；K，M和A，B之间的圆心角都是90°，说明极值切应力的作用面与主平面之间的夹角是 45°。 另外，任意两个互相垂直的斜截面，对应于应力圆上某一直径的两端，其切应力必然大小相等、符号相反，正应力之和为圆心到坐标原点距离 的两倍；极值切应力作用的两个截面上，其正应力相等，且都为 。从以上分析可以看，通过对应力圆进行分析可以得到解析法中所有的结论。应力圆对单元体上各种应力特征的形象描述，比解析法更为直观。以应力圆为辅助工具，根据图中的几何关系进行定量计算的方法称为图解解析法。例8.2从构件中截取一单元体，各截面的应力如图8.8（a）所示，试确定主应力、主方向及α=－30°斜截面上的应力。  图8.8 解在σ直角坐标系内，按选定的比例尺，由坐标(60,－30)和(－40,30)分别确定D与D′点（如图8.8(b)所示），以DD′为直径画圆，即得相应的应力圆。由公式（8.10）得应力圆半径为??DD′与σ轴的交点c即为应力圆圆心，由 可得其坐标值为(10,0)。应力圆与σ轴相交于点e和点f。两点横坐标分别为?? 故两点坐标为：e(－48.3,0)与f(68.3,0)。由于点e和点f分别对应单元体的两个主平面，所以?由应力圆可知∠fcD=2θ0=30.96°,而且，由于自半径cD~cf的转向为逆时针方向，因此主应力σ1的方位角为其一半，即 θ0=15.48°另一主方向角为?从而可以绘制主单元如图8.8（c）所示。由于α=-30°，自半径cD顺时针转动60°至cd，得点d坐标为(9.02,－58.3)，则为α斜截面上的正应力与切应力，所以? 8.4复杂应力状态的最大应力前面研究斜截面的应力及相应极值应力时，有两个限制条件，其一是单元体处于平面应力状态；其二是所研究的斜截面均垂直于单元体的不受力侧面。本节研究应力状态的一般形式：三向应力状态，并研究所有截面的应力。 8．4．1三向应力圆 一般的三向应力状态如图8.9（a）所示，单元体上的应力包括σx，σy，σz， 共9个应力分量。需要说明的是，命名一般三向应力状态中的切应力时，需要使用两个角标，一个表明切应力作用