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第7章 弯曲变形;7.1概述梁在载荷作用下，产生应力的同时也会发生变形。在许多工程问题中，梁不仅要满足强度条件，同时还必须满足刚度条件，即梁的变形必须控制在工程规定的许可范围之内，否则会影响正常工作。例如，图7.1所示的齿轮轴，若弯曲变形过大，将影响齿轮的啮合和轴承的配合，造成磨损不匀，产生噪声，降低寿命，还会影响加工精度。再比如，桥式起重机大梁在起吊重物时，若变形过大，将使梁上小车行走困难，出现爬坡现象，还会引起较严重的振动；管道变形过大，将影响管道内物料的正常输送，出现积液、沉淀和法兰连接不密等现象；楼板梁变形过大，将使下面的抹灰层开裂、脱落。因此，若变形超过允许范围，即使仍然是弹性的，也被认为是一种失效。; 图7.1;工程中虽然???常限制梁的变形，但在另一些情况下，又常常利用弯曲变形来达到某种要求。例如，叠板弹簧(见图7.2)应有较大的变形，才可以更好地起到缓冲减振作用；弹簧扳手(见图7.3)要有明显的弯曲变形，才可以使测得的力矩更准确；对于高速工作的内燃机、离心机和压气机的主要构件，需要调节它们的变形使构件自身的振动频率避开外界周期力的频率，以免引起强烈的共振。;  图7.2  图7.3;此外，在求解弯曲超静定问题和冲击问题时，也需考虑梁的变形。求解弯曲变形的方法很多，主要有积分法、叠加法、奇异函数法、共轭梁法、能量法、有限差分法等，本章主要介绍积分法和叠加法。;7.2挠曲线的微分方程讨论弯曲变形时，以变形前的梁轴线为x轴，垂直向上的轴为y轴(见图7.4(a))，xy平面为梁的纵向对称面。在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xy平面内的一条曲线，称为挠曲线。挠曲线上横坐标为x的任意点的纵坐标，用v表示，它代表坐标为x的横截面的形心沿y方向的位移，称为挠度。这样，挠曲线的方程式可以写成?;    图7.4;弯曲变形中，梁的横截面绕中性轴转过的角度，亦即横截面对其原来位置转过的角度θ，称为截面转角。根据平面假设，弯曲变形前垂直于轴线(x轴)的横截面，变形后仍然垂直于挠曲线。因此，截面转角θ就是y轴与挠曲线法线的夹角。它应等于挠曲线的倾角，即等于x轴与挠曲线切线的夹角。所以有??挠度与转角是度量弯曲变形的两个基本量，二者都是梁截面位置x的函数。在如图7.4所示的坐标系中，向上的挠度和逆时针的转角为正。;纯弯曲情况下，弯矩与曲率间的关系为公式(7.1)，即?横力弯曲时，梁截面上既有弯矩也有剪力。虽然式(a)只揭示了弯矩对弯曲变形的影响，但对于跨度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以忽略，所以式(a)也可作为横力弯曲变形的基本方程，此时1/ρ为x的函数，即?;由数学知识可知，平面曲线的曲率可写成?代入式(b)得?式(7.3)是挠曲线的微分方程，它是非线性的，适用于弯曲变形的任何情况。;为了求解的方便，在小变形的情况下，可将方程式(7.3)线性化。因为在工程问题中，梁的挠度一般都小于跨度，挠曲线v=f(x)是一条非常平坦的曲线，转角θ也是一个非常小的角度，于是公式(7.2)可以写成?由于挠曲线极其平坦，v′很小，v′2与1相比可以忽略，于是式(7.3)改写为?;注意式中参数E，Iz非负，而在如图7.4(b)所示的坐标系中v″的符号与弯矩的符号始终保持一致，所以上式改写为式(7.5)是挠曲线的近似微分方程。对于静定梁，弯矩可由截面法求得。因此，求等截面直梁的变形问题可归结为求解一个二阶常微分方程。该方程可用不同方法求解。;7.3用积分法求弯曲变形将挠曲线近似微分方程(7.5)积分一次得转角方程?再积分一次得挠曲线方程?式中C,D——积分常数。;等截面直梁的EIz为常量，积分时可提出积分号。在挠曲线的某些点上，挠度或转角有时是已知的。例如，在固定端，挠度和转角都等于零(见图7.5(a))；在铰支座处，挠度等于零(见图7.5(b))。再比如，在弯曲变形的对称点上，转角应等于零。这类条件统称为边界条件。此外，挠曲线应该是一条连续光滑的曲线，不应有如图7.6(a) 和(b)所示的不连续和不光滑的情况