高等代数课程设计报告.docVIP

高等代数课程设计报告 设计题目：最大公因式 院系：理学院 班级：应数1101 实验人：裴铮 学号：13 指导教师：苏昀  目录 一.关键词……………………………………………………………………………1 二.引入………………………………………………………………………………1 三.最大公因式定义…………………………………………………………………1 四.最大公因式存在性………………………………………………………………1 五.最大公因式存在的唯一性………………………………………………………3 六.辗转相除法及例题………………………………………………………………3七.互素定义﹑判别及性质…………………………………………………………4 八.推广………………………………………………………………………………6 九.思考题……………………………………………………………………………6 一.关键词： 最大公因式 辗转相除法 互素 二.引入: 如果多项式（x)既是f（x）的因式，又是g(x)的因式，那么（x) 就称为f（x）与g（x）的一个公因式，而在公因式中占有特殊地位的就是 最大公因式。 三.最大公因式的定义 定义1. 假设f（x），g(x)p[x]，若存在d（x)p[x]满足： （1）d（x）为f（x）与g(x)的公因式.【即d(x)│f (x) 且 d(x)│g（x）】 （2）f（x）与g(x)的公因式全是d（x）的因式.【(x) │f(x) 且（x)│g(x)（x)│d(x)】 则称d（x）为f（x）与g(x)的最大公因式。 注：（Ⅰ）对的f（x）p[x]，0与f（x）的最大公因式。 （Ⅱ）0与0 的最大公因式为0. 有了以上定义之后，首先要解决的是最大公因式的存在问题。 四.最大公因式的存在性 引理1. 设f（x）=q（x)g（x）+r（x），则g（x）、r（x）与f（x）、g(x) 有相同的公因式。 证明：①设（x）是g（x）与r（x）的任一公因式 （x）│g（x)且（x）│r(x) （x）│f(x) 且（x)│g（x） 故 （x）也是f（x）与g（x）的公因式 。 ②设（x）是f（x）与g（x）的任一公因式 （x）│f（x)且（x）│g(x) 而r（x）=f（x）-q（x)g（x） （x）│r(x) 且（x)│g（x） 故 （x）也是r（x）与g（x）的公因式 。 综上述，g（x）、r（x）与f（x）、g(x)有相同的公因式 引理2. 若f（x）=q（x)g（x）+r（x），则g（x）、r（x）的最大公因式也是f（x）、g(x)的最大公因式。 证明：设d（x）是g（x）﹑r（x）的一个最大公因式 d（x）│g（x)且d（x）│r(x) d（x）│f（x)且d（x）│g(x) (x)│f(x)且（x)│g（x） （x)│d（x） 从而对(x)│f(x)且（x)│g（x），有 （x）│g（x)且（x）│ r(x) 且（x)│d（x） 故有定义可知d（x）是