M—矩阵的等价表征.pdfVIP

应 用 数 学 MATHEMATICA APPLICATA 1995，8(1)：l4～5O M一矩阵的等价表征 p 逄明贤 孙玉祥 C)f (吉林师范学院，吉林市1 32011) 函数； 订。。抽髅 。 ． 壹堕里 韵 矩陲， 出教 干寸菇 r y，若4 ， I2I|…。I．| ≠o，户≥2，i1，如，…，i 互不相同．用 ¨)表示r(A)中全体环路集合，若r (A)={y∈ ( )lⅡ l=Ⅱ∑ _，(^)一( ∈ ( )lⅡ {Ⅱ∑ 收稿日期：1991—7—24 第1期 逢明贤等：M一矩阵的等价表征 进一步，若J(A)≠ ，并且对V ∈ (A)，总有r(A)的顶点序列il， 2，…，f ， 使得 l I1I … m，≠0，且iE? ， ∈L．E L，(A)，则称^为按环路非零元素链对角占优矩阵，记作AEWD- 为了方便，在下文中把s(A)看作 r(A)的一个有向子图，它是r(A)中全体环路之并． 这 引理1 设A=(口 )∈C…，记N—NlUN2，其中N1={ ．_，i^}，N2={ ^+1，…， )，N2是 里 A 证 (A)中全体环路的顶点的集合，则 明 + 十 ^ r … 1 ～ ～若 detA=Ⅱm，．．det { l， (1) Ⅳ 表A的指标集为i ，…，i 主子阵． 一 ，即^∈ ，则结论是显然的．故设Ⅳ ≠ ，由[4]知有n阶置换阵P使 PAPr：『AI ， (2) L U A J 其中Ⅳ 为F(A )的顶点巢，Ⅳ 为F(A )的顶点桌，A A 2分别为 阶及 ～ 阶方阵．于是 detA：detA d tA ：!d tA l?…“fd。tA l … 1． (3) 由Laplace定理知detA =detA === 的各项为士J 2…l l 。 …4 其中(q… )是( )的 某个置换-因F(A )不含环路，立见detA- = ~ai4i~，由(3)即得(1)． 推论 1 设A=(口 ．、∈ ，n ≠0，i∈N．若s(A)=L，(A)，则detA≠0． 证明 若A∈WI，则如[1]之定理2．3．若A每WI，则由引理1知detA一Ⅱ口 detA… if． 】 其中Az：∈ⅣJ，再由[1]之定理2．3知detA ≠0，固之detA≠0． 定理1 设A=(口 ，)∈ ”．若A∈WD．则det ≠0． 证明 同引理1一样假设N—N UN ，N 一 + ，…， )是 (A)的顶点集．由(1)只 须证明detA “ f nl≠0．如若detA … l：0，则有 一 阶非零向量 ：( ，…， )【z +1… J ^}】…t J ‘ ‘ 不妨设 的所有非零分量为