2017-2018学年度高中数学 课时作业14 数乘向量 北师大版必修4.docVIP

课时作业14　数乘向量 |基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列计算正确的个数是(　　) (1)0a＝0； (2)a＋0＝a； (3)(2a＋b)－(a－b)＝a. A．0　　B．1 C．2 D．3 解析：(1)错，0a＝0，(2)对，(3)错，根据向量的运算可得(2a＋b)－(a－b)＝a＋2b.答案：B 2．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为(　　) A．－1或3 B. C．－1或4 D．3或4 解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.答案：A 3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则(　　) A.＝2 B.＝ C.＝3 D．2＝ 解析：因为D是BC的中点，所以＋＝2，所以2＋2＝0，所以＝－，所以＝.答案：B 4．设a，b不共线，＝a＋kb，＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有(　　) A．k＝m B．km－1＝0 C．km＋1＝0 D．k＋m＝0 解析：若A，B，C三点共线，则与共线，∴存在唯一实数λ，使＝λ，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb，∴∴km＝1，即km－1＝0.答案：B 5．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝(　　) A.a＋b B.a＋b C．a＋b D．a＋b 解析：由已知条件可知BE＝3DE，所以DF＝AB，所以＝＋＝＋＝a＋b.答案：A 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________. 解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0所以x＝4b－3a.答案：4b－3a 7．已知＝＋.设＝λ，那么实数λ的值是________． 解析：∵＝λ，∴－＝λ(－)，即＝λ＋(1－λ)，又∵＝＋，∴λ＝.答案： 8．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________. 解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)k＝8λ，2＝λkk＝－4(因为方向相反，所以λ0k0)．答案：－4 三、解答题(每小题10分，共20分) 9．计算 (1)(a＋2b)＋(3a－2b)－(a－b)； (2)－. 解析：(1)原式＝a＋b＝a＋b.(2)原式＝－＝a＋b－a－b＝0. 10．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠1，λ≠0)． (1)求证：A，B，M三点共线． (2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围． 解析：(1)因为＝λ＋(1－λ)，所以＝λ＋－λ，－＝λ－λ，即＝λ，又λ∈R，λ≠1，λ≠0且，有公共点A，所以A，B，M三点共线．(2)由(1)知＝λ，若点B在线段AM上，则，同向且||||(如图所示)，所以λ1.|能力提升|(20分钟，40分)11．已知a，b是两个不共线的向量，＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若A，B，C三点共线，则(　　) A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1 C．λ1λ2＋1＝0 D．λ1λ2－1＝0 解析：若A，B，C三点共线，则，共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，即(1－λλ1)a＋(λ2－λ)b＝0，由于a，b不共线，所以1＝λλ1且λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.答案：D 12．如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝________. 解析：直接利用向量共线定理，得＝3，则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，＝－＋，则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.答案：－2 13．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f. (1)用e、f表示； (2)证明：四边形ABCD为梯形． 解析：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，所以与方向相同，且的长度为的长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形． 14．如图所示，在△ABC中，点D是边BC的中点，A，D，E三点共线，求证：存在一个实数λ，使得＝λ(＋)． 证明：由向量加法的平行四边形法则可知＝(＋)．因为A，D，E三点共线，所以可设＝μ，则＝(＋)．令λ＝，可得＝λ(＋)．所以，存在一个实数λ，使得＝λ