2017-2018学年度高中数学 课时作业25 二倍角的三角函数（二）北师大版必修4.docVIP

课时作业25　二倍角的三角函数(二) |基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．已知2sinα＝1＋cosα，则tan＝(　　) A.　　B.或不存在 C．2 D．2或不存在 解析：由2sinα＝1＋cosα，即4sincos＝2cos2，当cos＝0时，则tan不存在，当cos≠0时，则tan＝.答案：B 2．若sin2α＝，且α∈，则cosα－sinα的值为(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：因为α∈，所以cosαsinα，(cosα－sinα)2＝1－sin2α，所以cosα－sinα＝－.答案：C 3．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝(　　) A．1 B．－1 C．0 D．±1 解析：因为sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)·sinβ＝sin(α＋β－β)＝sinα＝0，所以sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝2sinαcos2β＝0.答案：C 4．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝(　　) A. B. C. D. 解析：因为θ∈，所以2θ∈，所以cos2θ≤0，所以cos2θ＝－＝－＝－.又cos2θ＝1－2sin2θ，所以sin2θ＝＝＝，所以sinθ＝.答案：D 5．化简2＋2sin2得(　　) A．2＋sinα B．2＋sin C．2 D．2＋sin 解析：原式＝1＋2sincos＋1－cos＝2＋sinα－cos＝2＋sinα－sinα＝2.答案：C 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．已知sin－cos＝，则cos2θ＝________. 解析：因为sin－cos＝，所以1－sinθ＝，即sinθ＝，所以cos2θ＝1－2sin2θ＝1－＝.答案： 7．若＝，则tan2α等于________． 解析：由＝，得2(sinα＋cosα)＝sinα－cosα，即tanα＝－3.又tan2α＝＝＝＝.答案： 8．函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为________． 解析：y＝sin2x＋cos2x＝sin2x＋＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，所以该函数的最小正周期为π.答案：π 三、解答题(每小题10分，共20分) 9．化简：(1)； (2)已知πα，化简： ＋. 解析：(1)原式＝＝＝.(2)原式＝＋，∵πα，∴.∴cos0，sin0.∴原式＝＋＝－＋＝－cos. 10．求证：－2cos(α＋β)＝. 证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ，两边同除以sinα得－2cos(α＋β)＝. |能力提升|(20分钟，40分) 11．已知sinα＋cosα＝，则2cos2－1＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：∵sinα＋cosα＝，平方可得1＋sin2α＝，可得sin2α＝－.2cos2－1＝cos＝sin2α＝－.答案：C 12．已知sin2θ＝，02θ，则＝________. 解析：＝＝＝＝.因为sin2θ＝，02θ，所以cos2θ＝，所以tanθ＝＝＝，所以＝＝，即＝.答案： 13．已知向量a＝(2sinx，cosx)，b＝(cosx,2cosx)，定义函数f(x)＝a·b－1. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单凋递减区间． 解析：f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin. (1)T＝＝π. (2)令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，则＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)． 14．如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？ 解析：连接OB，设∠AOB＝θ，则AB＝OBsinθ＝20sinθ，OA＝OBcosθ＝20cosθ，且θ∈.∵A，D关于原点对称，∴AD＝2OA＝40cosθ.设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cosθ·20sinθ＝400sin2θ.∵θ∈，∴当sin2θ＝1，即θ＝时，Smax＝400 (m2)．此时AO＝DO＝10 (m)．故当A、D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2. 1