2017-2018学年度高中数学 第二章 变化率与导数 2.1 变化的快慢与变化率课件 北师大版选修2-2.pptVIP

-*- §2.1　变化的快慢与变化率 1.函数的平均变化率 函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率 (1)条件:已知函数y=f(x),自变量x从x1变为x2,函数值从f(x1)变为f(x2).记Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1). (3)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比. (4)作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. 名师点拨对平均变化率的理解 (1)y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. (2)平均变化率的绝对值越大,曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上越“陡峭”,反之亦然. (3)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t),在 时间段[t1,t2]上的平均速度,即 (4)改变量并不一定都是正值,也可以是负值,函数值的改变量还可以是0,比如常数函数,其函数值的改变量就是0. (5)注意变量的对应,若Δx=x2-x1,则Δy=f(x2)-f(x1),而不是Δy=f(x1)=f(x2). 【做一做1】 函数f(x)=x2在区间[-1,3]上的平均变化率是(　　) 答案:B 2.瞬时变化率及瞬时速度 对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则函数的平均变化率是 而当Δx趋于0时,平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢. 名师点拨1.瞬时变化率是刻画函数值在x0点处变化的快慢,而平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. 2.瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率. 【做一做2】 如果某物体作运动方程为s=2(1-t2)的直线运动(s的单位:m,t的单位:s),那么,物体在1.2 s末的瞬时速度为(　　) A.-4.8 m/s B.-0.8 m/s C.0.88 m/s D.4.8 m/s 即t=1.2 s时的瞬时速度为-4.8 m/s. 答案:A 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)对于常数函数y=a(a是常数),它的平均变化率为0. (　　) (2)若函数f(x)在区间[x1,x2]内的平均变化率为0,则说明函数f(x)在区间[x1,x2]上没有发生变化. (　　) (3)在平均变化率的定义中,自变量x在区间[x1,x2]上的改变量Δx为任意实数. (　　) (4)函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数值的改变量Δy是f(x0+Δx)-f(x0). (　　) (5)瞬时速度是平均速度的极限值. (　　) √ × × √ √ 探究一 探究二 探究三 思维辨析 平均变化率 【例1】 求函数y=3x2+2在下列区间上的平均变化率. (1)[2,2.1];(2)[2,2+Δx]. 分析:可以先求自变量的增量和函数值的增量,再代入公式求解. 解:(1)函数y=3x2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率为 (2)函数y=3x2+2在区间[2,2+Δx]上的平均变化率为 反思感悟求函数平均变化率的步骤 第一步,求自变量的改变量Δx=x2-x1, 第二步,求函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1). 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1一质点运动的方程为s=5-3t2,则在一段时间[1,1+Δt]内相应的平均速度为(　　) A.-3Δt-6 B.-3Δt+6 C.3Δt-6 D.3Δt+6 解析:质点在[1,1+Δt]内的平均变化率, 答案:A 探究一 探究二 探究三 思维辨析 瞬时变化率 【例2】 已知s(t)= gt2,其中g=10 m/s2. (1)求t从3 s到3.1 s的平均速度; (2)求t从3 s到3.01 s的平均速度; (3)求t在t=3 s时的瞬时速度. 分析:函数的平均变化率和瞬时变化率即为平均速度和瞬时速度. 解:(1)Δt=3.1-3=0.1 (s),Δt指时间改变量, 探究一 探究二 探究三 思维辨析 (2)Δt=3.01-3=0.01 (s),Δt指时间改变量, (3)由瞬时速度的定义可知 ∴当t=3 s时的瞬时速度为30 m/s. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟根据条件求瞬时速度的步骤 (1)探究非匀速直线运动的规律s=s(t); (2)由时间改变量Δt确定位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0); 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2以初速度v0(v00)垂直上抛的物体,t秒时的高度为s(t)=v0t- gt2,求物体在时刻t0处的瞬时速度. 因此物体在时刻t0的瞬时