2017-2018学年度高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 习题课2 抛物线方程及性质的综合应用课件 北师大版选修2-1.pptVIP

-*- 习题课——抛物线方程及性质的综合应用 一 二 一、利用抛物线的定义解题 若抛物线的焦点为F,准线为l,点P在抛物线上,则点P到点F的距离等于点P到准线l的距离. 一 二 二、抛物线的焦半径与焦点弦 1.抛物线的焦半径 抛物线上的点到焦点的距离叫做焦半径,其长度如下: 一 二 2.抛物线的焦点弦 过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦.若抛物线y2=2px(p0)的焦点弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则有以下结论: (1)|AB|=x1+x2+p; (2)|AB|=2x0+p(x0是A,B两点横坐标的中点值); (3)AB垂直于对称轴时,AB叫通径,焦点弦中通径最短; (6)以AB为直径的圆必与准线相切. 一 二 【做一做1】 抛物线y2=8x上一点P到x轴距离为12,则点P到抛物线焦点F的距离为(　　) A.20 B.8 C.22 D.24 答案:A 解析:抛物线标准方程为y2=6x,2p=6,故通径的长度等于6. 答案:C 一 二 【做一做3】 过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则它被抛物线截得的弦长为(　　) A.8 B.16 C.32 D.61 解析:由抛物线y2=8x的焦点为(2,0),得直线的方程为y=x-2,代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,弦长为x1+x2+p=12+4=16. 答案:B 【做一做4】 若抛物线y2=-16x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为　.? 解析:根据抛物线的定义可知,点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离,因此点P在线段OF的垂直平分线上,而F(-4,0),所以P点横坐标为-2,代入抛物线方程得y=±4 ,故点P的坐标为(-2,±4 ). 答案:(-2,±4 ) 一 二 【做一做5】 已知抛物线x2=4y,经过其焦点F的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:y1y2为定值. 证明:抛物线x2=4y的焦点F(0,1),设直线AB的斜率为k,则其方程为y-1=kx. 探究一 探究二 规范解答 利用抛物线的定义解决问题 【例1】 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,且经过点M(2,y0),若点M到焦点的距离为3,则|OM|等于(　　) 答案:B 反思感悟利用抛物线的定义解题,其实质是利用抛物线的定义,进行了两种距离之间的一种转化,即抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转化,通过这种转化,可以简化解题过程. 探究一 探究二 规范解答 变式训练1在抛物线y2=12x上,与焦点的距离等于9的点的坐标是　　　　　.? 解析:抛物线的焦点为F(3,0),准线x=-3,抛物线上的点P, 探究一 探究二 规范解答 【例2】 已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时点P的坐标. 思维点拨:根据抛物线的定义,就是在抛物线上找一点P,使得点P到点A的距离与点P到准线的距离之和最小,然后可借助平面几何知识求解. 探究一 探究二 规范解答 解:如图所示, 作PN⊥l于点N(l为准线),作AB⊥l于点B, 则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|≥|AB|,当且仅当点P为AB与抛物线的交点时,等号成立. 探究一 探究二 规范解答 反思感悟这类与抛物线有关的最值问题,一般涉及抛物线上的动点到焦点或准线的距离,可利用抛物线的定义(即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离),构造出“两点间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”,使问题获解. 探究一 探究二 规范解答 变式训练2定点M 与抛物线y2=2x上的点P之间的距离为d1,点P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,点P的坐标为(　　) 探究一 探究二 规范解答 解析:如图所示,连接PF,则d1+d2=|PM|+|PF|≥|MF|,知d1+d2最小值是|MF|,当且仅当点P在线段MF上时,等号成立,而直线MF的方程 答案:C 探究一 探究二 规范解答 抛物线的焦点弦问题 【例3】 已知抛物线方程为y2=2px(p0),过此抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|= p,求AB所在直线的方程. 思维点拨:依题意只需求出直线AB的斜率即可利用点斜式求得方程,可根据焦点弦长度公式求解. 探究一 探究二 规范解答 探究一 探究二 规范解答 (方法二) 探究一 探究二 规范解答 反思感悟求抛物线的焦点弦长度的两种方法: 一是运用一般的弦长公式.二是直接利用焦点弦长度公式,即如果AB是抛物线y2=2px(p0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1)