2017-2018学年度高中数学 第二章 变化率与导数 2.2 导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修2-2.pptVIP

-*- §2.2　导数的概念及其几何意义 1.导数的概念 定义:设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值从f(x0)变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率为 当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在x0点的导数. 2.函数y=f(x)应在x=x0及其附近有意义,否则导数不存在. 【做一做1】 函数f(x)=x2在x=1处的导数为　　　　.? 解析:∵Δy=(1+Δx)2-1=2Δx+(Δx)2, 答案:2 2.导数的几何意义 (1)割线的斜率. 已知f(x)图像上两点A(x0,f(x0)),B(x0+Δx,f(x0+Δx)),过A,B两点的割线的斜率是 ,曲线割线的斜率就是函数的平均变化率. (2)切线的斜率. 当点B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的最终位置为直线AD,这条直线AD叫作此曲线在点A的切线.则当Δx→0时,割线AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率,即 = 切线AD的斜率. (3)导数的几何意义. 函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义. 名师点拨曲线的切线与导数 (1)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以有无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线. (2)函数f(x)在x0处有导数,则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线,且导数值是该切线的斜率. (3)曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0). 【做一做2】 函数y=f(x)= 在x=1处的切线方程为　　　　.? 则切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0. 答案:x+y-2=0 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)函数f(x)在定义域内的任一点都存在导数. (　　) (2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点. (　　) (3)若f(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与x轴垂直. (　　) (4)若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的导数不存在,则在该点处的切线也不存在. (　　) × √ √ × 探究一 探究二 探究三 思维辨析 导数的定义 【例1】 如果一个质点由定点A开始运动,在时间t的位移函数为y=f(t)=t3+3,求t1=4时的导数. 分析:根据函数y=f(x)在点x0处导数的求解步骤即可解题. ∴函数y=t3+3在t1=4时的导数f(4)=48. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); 可以简记为“一差,二比,三极限”. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 导数的几何意义 (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. 分析:利用导数的几何意义求出切线的斜率,进而求得切线方程. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟求过曲线上一点的切线方程的步骤 (1)求斜率.求出曲线在点(x0,f(x0))处的导数,即切线的斜率. (2)写方程.用点斜式y-f(x0)=f(x0)(x-x0)写出切线方程. (3)变形式.将点斜式化为一般式. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+ (a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是　　　　　.? 答案:-3 探究一 探究二 探究三 思维辨析 导数几何意义的综合应用 【例3】 已知函数f(x)= 的图像上一点A(4,f(4)),O为坐标原点,点B为曲线段OA上一动点,求△AOB的面积的最大值. 分析:因为线段OA是固定的,点B在曲线段OA上运动,当点B到OA的距离最大时,△AOB面积最大,要使点B到OA的距离最大,需要过点B作平行于OA的切线,进而求得点B坐标,再求面积. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1.与导数的几何意义相关的题目大多与解析几何有关,如直线方程、直线间的位置关系等,因此要综合应用所学知识解题. 2.解决此类问题的关键是函数在某点处的导数,已知切点可以求斜率,已知斜率也可以求切点,切点坐标是常设的未知量. 探究一 探