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郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1992 年数学试题详解及评分参考
1992 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题详解及评分参考
学（试卷一）
一、填空题：（本题共5 小题，每小题3 分，满分15 分）
x + y dy
(1) 设函数y = y (x ) 由方程e + cos(xy ) = 0 确定，则 = .
dx
y sin(xy ) -e x + y
【答】应填 .
ex + y - x sin(xy )
x + y dy dy
【解】在方程两边对x 求导，得e (1+ ) - sin(xy )(y + x ) = 0 . 解得
dx dx
dy y sin(xy ) -e x + y
= .
x + y
dx e - x sin(xy )
(2) 函数u = ln(x 2 + y 2 + z 2 ) 在点M (1, 2, -2) 处的梯度gradu M = .
2
【答】应填 {1, 2, -2}.
9
u r u r u ur 1 r r ur
【解】因grad u = i + j + k = 2 2 2 (2x i + 2y j + 2zk ) ，故
x y z x + y + z
1 r r ur 2
grad u M = 2 2 2 (2i + 4j - 4k ) = {1, 2, -2}.
1 + 2 + (-2) 9
Ï-1,-p x £ 0
(3) 设f (x ) = Ì 2 ，则其以2 p 为周期的傅里叶级数在点x = p 处收敛于 .
1+ x ,0 x £ p
Ó
2
p
【答】应填 .
2
【解】根据狄利克雷收敛定理，f (x ) 以为2p 周期的傅里叶级数在x = p 处收敛于
f (-p + 0) + f (p - 0) p 2
= .
2 2
(4) 微分方程y ¢ + y tan x = cos x 的通解为 .
【答】应填 x + C cos x.
( )
【解】根据一阶线性微分方程的通解公式，知所求通解为
1992 年 • 第 1 页
郝海龙
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