2008年考研数学试题详解及评分参考.pdfVIP

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008 年数学试题详解及评分参考 2008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题详解及评分参考 学（一） 一、选择题（ 1 ～ 8 小题，每小题4 分，共32 分. ） 2 x (1) 设函数f (x) = Ú0 ln(2 + t)dt ，则f ¢(x ) 的零点个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答】应选(B) . 【解】因f ¢(x) = [ln(2 + x 2 )] 2x ，且ln(2 + x 2 ) 0 ，所以x = 0 是f ¢(x ) 的唯一零点， 故选(B) . x (2) 函数f (x , y ) = arctan 在点（0，1）处的梯度等于 y （A ）i （B ）-i （C ）j （D ）-j 【答】应选(A) . ¢ y ¢ -x ¢ ¢ 【解】因f f ，故f (0,1) = 1 ，f (0,1) = 0 ，从而 = ， = x 2 2 y 2 2 x y x + y x + y f (0,1) 1 0 grad = i + j =i ，故选(A) . (3) 在下列微分方程中，以y = C ex + C cos 2x + C sin 2 x （C , C , C 为任意常数）为通 1 2 3 1 2 3 解的是 （A ）y ¢¢¢ + y ¢¢ - 4y ¢ - 4y = 0 . （B ）y ¢¢¢ + y ¢¢ + 4y ¢ + 4y = 0 （C ）y ¢¢¢ - y ¢¢ - 4y ¢ + 4y = 0 . （D ）y ¢¢¢ - y ¢¢ + 4y ¢ - 4y = 0 【答】应选(D) . 【解】由通解的表达式可见此微分方程的三个特征值分别为1, ±2i ，所以它的特征方程 为(l - 1)(l 2 + 4) = l3 - l 2 + 4l - 4 = 0 ，于是该微分方程是y ¢¢¢ - y ¢¢ + 4y ¢ - 4y = 0 ， 故选(D) . (4) 设函数f (x ) 在(-•, +•) 内单调有界，{xn }为数列，下列命题正确的是 （A ）若{xn }收 ，则{f (x n )} 收 . (B) 若{xn }单调，则{f (x n )} 收 . (C) 若{f (x n )} 收 ，则{xn }收 . (D) 若{f (x n )} 单调，则{xn }收 . 【答】应选(B) . 【解】 因f (x ) 在(-•, +•) 内单调有界，故当{xn }单调时，必有{f (x n )} 单调有界，这 2008 年 • 第 1 页 郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008 年数学试题详解及评分参考 时，根据单调有界原理，必有{f (x n )} 收 ，故选(B) . 对于选项(A) ，由于当{xn }收敛时，并不能保证{xn }单调，从而无法保证{f (x n )} 单调， 1+