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学（一）
一、填空题（本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分）
1
(1) lim(cos x) l n (1+x 2 ) = .
x Æ0
1
-
【答】应填 e 2 .
ln cos x
1
2
2 ln 1+x
l n (1+x ) ( )
【解】lim(cos x) = lim e ，而
x Æ0 x Æ0
ln cos x ln(1+ cos x - 1) cos x - 1 1 1
lim = lim = = - ，所以原式=
2 2 2
x Æ0 ln(1+ x ) x Æ0 x x 2 e
(2) 曲面z = x 2 + y 2 与平面 2x + 4y - z = 0 平行的切平面的方程是 .
【答】应填 2x + 4y - z = 5 .
【解】 设切点坐标为P = (x , y ,z ) ，则曲面在P 处的法向量为{-2x , -2y ,1}，应与
0 0 0 0 0 0 0
-2x0 -2y0 1
已知平面的法向量n = {2, 4, - 1}平行，所以 = = ，从而x0 = 1, y0 = 2 .
2 4 -1
于是z0 = x02 + y02 = 5
•
(3) 设x 2 = Âan cos nx (-p £ x £ p ) ，则a2 = .
n=0
【答】应填1.
【解】由题设，a 是偶函数x 2 在区间 -p ,p 上周期为2 p 的傅里叶系数，取n = 2 ，
n [ ]
2 p 2 1 2 p p
有 a2 = Ú0 x cos 2xdx = [x sin 2x 0 - Ú0 2x sin 2xdx]
p p
1
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