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2014 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题详解及评分参考
数 学（一）
一．选择题：1 - 8 小题，每小题4 分，共32 分. 下列每题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上.
(1) 下列曲线中有渐近线的是
(A) y = x + sin x (B) y = x2 + sin x
1 2 1
(C) y = x + sin (D) y = x + sin
x x
【答】应选(C) .
【解】显然，对四个选项中的y ，均有lim y = • ，故四条曲线都没有水平渐近线；
x Æ•
又在四个选项中，只有(C)和(D)有间断点x = 0 ，但lim y • ，故四条曲线都没有铅直
x Æ0
渐近线；所以只需考察斜渐近线.
x + sin x
对于选项(A) ，因lim = 1 ，但lim [(x + sin x) - x] ，故没有斜渐近线；
x Æ• x x Æ•
2 1
2 x + sin
x + sin x
对于选项(B)和(D) ，因lim = • ，且lim x = • ，故都没有斜渐近线；
x Æ• x x Æ• x
1
x + sin
1
对于选项(C)，因lim x = 1 ，且lim [(x + sin ) - x ] = 0 ，故y = x 是其斜渐近线.
x Æ• x x Æ• x
综上所述，应选(C) .
(2) 设函数f (x ) 具有2 阶导数，g (x ) = f (0)(1- x ) + f (1)x ，则在区间[0,1]上
(A) 当f ¢(x ) 0 时，f (x ) g (x ) (B) 当f ¢(x ) 0 时，f (x ) £ g (x )
(C) 当f ¢¢(x ) 0 时，f (x ) g (x ) (D) 当f ¢¢(x ) 0 时，f (x ) £ g (x )
【答】应选(D) .
¢ ¢ ¢¢ ¢¢
【解】记h(x) = f (x) - g (x ) ，知h (x) = f (x) + f (0) - f (1) ，h (x) = f (x ) ，于是
当 ¢¢ 时，有 ¢¢ ，即h(x) 是凹函数. 又易 h(0) = 0, h
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