多种模糊值函数微分定义的统一表述.pdfVIP

第22卷第3期 模 糊 系 统 与 数 学 Vo1．22。No．3 2008年 6月 Fuzzy Systems and Mathematics Jun．，2008 文章编号：1001-7402(2008)03—0116-06 多种模糊值函数微分定义的统一表述 郭嗣琮 (辽宁工程技术大学 理学院，辽宁 阜新 123000) 摘 要：针对模糊值函数微分有多种定义，并且在形式难以得到统一的现状，提出了模糊数的广义限定 性运算。在此基础上，利用[一1，1]上同序标准单调函数类与模糊实数空间的同胚性质，给出了广义限 定差意义下的模糊值函数微分定义，并证明了这个定义与借助于扩张原理形式、借助于Hukuhara差形 式和借助于模糊结构元形式的三种模糊值函数微分定义是等价的，进而得到了基于模糊结构元方法的 模糊值函数微分定义的统一表述。 关键词：模糊值函数微分；模糊结构元；广义限定性运算 中图分类号：O1s9 文献标识码：A 自1972年Chang和Zadeh~妇提出模糊数概念后，模糊值函数分析学的研究就一直很活跃。在模糊 数空间、模糊值函数的微积分学、模糊级数、模糊微分方程、模糊复分析等方面取得了大量的研究成果。 其中，关于模糊值函数的微分有许多种定义，而人们研究比较多的有两种，分别为Dubois和Prade提出 的借助于区间值函数及扩张原理的模糊值函数的微分概念[2 和Puri和Ralescu先后给出的借助集值 函数的Hukuhara导数的模糊值函数微分概念 ]。另外，笔者从模糊值函数及微积分的解析表达目的 出发，在[63中提出了基于模糊结构元方法的模糊值函数微积分定义，并证明了这个定义是与Dubois、 Prade借助于Zadeh的扩张原理的定义等价。尽管模糊值函数的Hukuhara微分在形式上与经典的微分 定义一致，但由于模糊数的加、减法运算不是互逆的，使得人们无法看清Hukuhara微分与基于扩张原 理的模糊值函数微分之间的内在联系。本文在Klir[7 提出的模糊数限定运算基础上，给出了利用模糊结 构元方法表述模糊数的广义限定运算，并在广义限定运算下得到了不同形式的模糊值函数微分的一致 性，并给出了模糊值函数微分的统一定义。 1 两种不同形式的模糊值函数微分定义 设F(R)表示R上模糊集全体，给定 ∈F(R)，其隶属函数为 j(-z)，对于12∈[0，1]， 的12水平 截集为A 一{-z∈R I (-z)≥口}。若 具有性质： (1)A是正规的，即存在-z∈R，使得 A(-z)一1； (2)A是凸模糊集，即对于z， ∈R， ∈[0，1]， A( +(1一 ) )≥min{ (-z)， A( )}； (3)A是上半连续的，即当12C-(0，1]时， 是闭集； (4)对于任意的OL E(0，1]。A 有界； *收稿日期：2007—02—05；修订日期：2007—08—04 基金项目：辽宁省教育厅高等学校科学研究项目 作者简介：郭嗣琮(1951-)，男，吉林白城人，辽宁工程技术大学理学院教授，博士生导师，研究方向：模糊分析学，工程科学软计算 第3期 郭嗣琮：多种模糊值函数微分定义的统一表述 117 (5)suppA—cl{x∈R； ( )0)是紧的。 称 为模糊数。R上模糊数全体记为F (R)。 设x和y是两个实数集，D x，7是D到FⅣ(R)上的映射，v ∈D，存在唯一的模糊数 ∈ F (R)，记 一7( )，称7为D上的模糊值函数。 在模糊分析中，模糊值函数的导数有几种不同的定义，其中较普遍的是借助区间值函数及扩张原理 给出的定义和借助集值函数的Hukuhara导数给出的定义。 定义1．1 设7( )是区间D x上的模糊值函数， ( )=EfⅢ)( )， c )( )]是 ( )的 截集， ( )的导数为尸 ( )= Em