二阶隐式微分方程周期边值问题的正解.pdfVIP

第37卷 第5期 应 用 数 学 学 报 Vo1．37No．5 2014年 9月 ACTA MATHEMATICAEAPPLICATAESINICA Sep．、2014 二阶隐式微分方程周期边值问题的正解 王 峰 (常州大学数理学院，常州213164) (E—mail：fengwang188@163．com) 崔玉军 (山东科技大学数学与系统科学学院，青岛266510) 摘 要 本文讨论了二阶隐式微分方程周期边值问题 一XII(t)：，(t，z()， )，z(t))，Otl正 解的存在性，其中川0，1】xRxRxR-+R连续且满足增长性条件 If(t，X，Y，z)l_Ay。+Blzl+C，这里 A，C0，B6[0，1)．证明基于零点指数理论．获得结果和使用工具与以往文献本质不同． 关键词 零点指数；锥；周期边值问题；正解 MR(2000)主题分类 34B15 中图分类 O175．14 1 引言 二阶周期边值问题描述了物理和工程中的许多周期现象，因此对于该类问题的研 究引起了许多学者的兴趣 [1-1s】．[卜4】利用上下解方法和单调迭代技术，考虑了二阶周 期边值问题 XJt(￡)=f(t，(￡)，XI(t))， 0t1 x(o)= (1)， Xt(0)= (1) 周期解的存在性．而在大多数实际问题中往往只有正解才有意义．因此，人们越来越 关心正周期解的存在性．由于问题所对应的线性齐次周期边值问题 Xt!(t)=0，0t 1，5(0)= (1)， (0)= (1)有非平凡解 x(t)=A，A∈R，因此线性算子X11(t)不可逆， 此时Green函数不存在．为了解决这个问题，人们在方程两端加上线性扰动项 ()，使 本文 2010年 1月9日收到．2014年 2月 24日收到修改稿． 国家 自然科学基金 和山东省博士后创新项 目专项基金 (201303074)资助项 目 5期 王峰，崔t,-~g：二阶隐式微分方程周期边值问题的正解 947 得 ”(t)+ ()可逆，转化为求不动点的问题．例如 [5—13]讨论周期边值问题 (￡)+，()=f(t，())， 0t1， (0)= (1)， (0)= (1) 正解存在性，其中 是常系数．最近， 1【4一l6]利用锥拉伸与锥压缩不动点定理对变系 数 ()的二阶周期边值问题 Xtt(￡)+AI=)(￡)=f(t，(t))， 0t1， x(O)= (1)， (0)= (1) 正解的存在性进行研究． [17—18]对更一般的二阶周期边值问题 ()=f(t，(t))， 0t1， x(0)= (1)， (0)= (1) 获得了正解的存在性． [19]利用 A—proper半线性算子的不动点指数理论讨论非线性项 含有一阶导数的二阶周期边值问题 ～ XH()=f(t，(t)， ))， 0t1， x(o)= (1)， Xt(0)：Xt(1) 获得了非负解的存在性． 受以上工作的启发，我们讨论二阶隐式周期边值问题 一 ”(t)=。f(t，(t)，XI(t)， ())， 0t1， (1．1) x(o)= (1)， (0)= (1) (1．2) 正解的存在性，其中非线性项 ．厂