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*例1 设 是 中有界闭域, 是 上 可积函数. 使得 §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 其中 是由 所围成的多 边形. 存在顶点在 上的折线 则 证 设 时, 取分割 使得 由于 在 上一致连续, 因此存在 §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 令 就有 直线 将 分割为 又将 分割为 §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 于是 1.设函数 在有界可求面积区域 D 上可积, 求证 在D上有界. 2.设函数 定义在可求面积区域 D 试证 在 上可积的充要 上, 是 内一条光滑曲线. 若 条件是 在 D 上可积. 数学分析 第二十一章 重积分 高等教育出版社 数学分析 第二十一章 重积分 高等教育出版社 数学分析 第二十一章 重积分 高等教育出版社 复习思考题 一、平面图形的面积 二、二重积分的定义及其存 在性 三、二重积分的性质 二重积分是定积分在平面上的推广,不同之处在于: 定积分定义在区间上,区间的 长度容易计算,而二重积分定义在平面区域上, 其面积的计算要复杂得多. §1 二重积分概念 数学分析 第二十一章 重积分 *点击以上标题可直接前往对应内容 我们首先定义平面图形的面积. 如果存在一矩形 R , 设 P 是一平面有界图形, 用平行于二坐标轴的某一 组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 的网眼 (小闭矩形) 可分为三类: (i) 上的点都是 P 的内点; (ii) 上的点都是 P 的外点, 即 §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 平面图形的面积 (iii) 上含有 P 的边界点. 我们称平面图形 P 是有界的, 使得 这时直线网 T 将所有属于第(i) 类小矩形 (图 21-1 中紫色部分)的面 积加起来, 里 表示包含P 的那个矩 形 R 的面积); 面积加起来(图 21-1中除青色部分), 则有 则有 (这 §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 将所有第 (i) 类与第 (iii) 类小矩形的 记这个和数为 记这个和数为 定义1 由确界存在定理可以推得, 显然有 通常称 为 P 的内面积, 为 P 的外面积. 若平面图形 P 满足 = , 则称 P 为可求面积 的图形, 数集 有上确界, 有下确界. §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 记 对于平面上所有直线网, 作为 P 的面积. 并把共同值 定理20.1 对任给的 总存在直线网 T, 证 必要性 设有界图形 P 的面积为 由 及 的定义知道, 分别 存在直线网 与 使得 记 T 为由 与 这两个直线网合并所成的直线网, 可证得 §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: 使得 由定义 1, 有 于是由(3)可得 从而对直线网 T 有 充分性 设对任给的 存在某直线网 T, 使得 但 §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 由 的任意性, 得 因而平面图形 P 可求面积. 所以 推论 平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它 即对任给的 存在直线网 T, 使得 或对任给的 平面图形 P 能被有限个面积总和 小于 的小矩形所覆盖. §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 的外面积 定理21.2 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: P 的边界 K 的面积为零. 证 由定理21.1, P 可求面积的充要条件是: 的 存在直线网T, 使得 所以也有 由上述推论, P 的边界K 的面积 为零. §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 由于 对任给 证 由于 在闭区间 上连续, 因而, 当 ， 可使