§3.2 初等矩阵与逆矩阵的求法.pptVIP

向量与矩阵的基本运算 §3.2 初等矩阵与逆矩阵的 求法 初等矩阵的概念 初等矩阵的应用 小结 解 能否写成“=”？ 利用初等行变换求逆矩阵的方法, 还 可用于求矩阵A－1B. 即 初等行变换 例 解 若A可逆，则X= A－1 B. 求矩阵X，使AX=B，其中 方法1：先求出 ，再计算 方法2：直接求 2. 若作初等行变换时, 出现全行为0, 则矩阵的行列式等于0. 结论：矩阵不可逆! 求逆时, 若用初等行变换必须坚持始 终, 不能夹杂任何列变换. (作列变换时也一样) 注： 还可利用初等列变换求逆矩阵： 如果要求Y=CA－1,则可对矩阵 作 初等列变换, 例 用初等列变换求可逆矩阵A的逆矩阵 解：用初等列变换 A－1 (2) 对(A, E)施行初等行变换，将A化为单位矩阵E后，右边E对应部分即为A－1 (或对 施行初等列变换，将A化为单位矩阵E后，E对应部分即为A－1). 1. 单位矩阵 初等矩阵. 一次初等变换 2. 利用初等变换求逆阵的步骤是: (1) 构造矩阵(A, E)或 矩阵的初等变换 我们来看线性方程组的一般形式： 什么是初等变换?为什么要对矩阵作初等变换？ 用矩阵形式来表示此线性方程组： 令 则线性方程组可表示为 如何解线性方程组？ 可以用高斯消元法求解. 始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换： (1) 交换两个方程的次序； (2) 以不等于0的数乘以某个方程； (3) 一个方程加上另一个方程的k倍． 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换． 若记 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组的增广矩阵)的行的变换． 因为在上述变换过程中，仅仅只对方 程组的系数和常数进行运算，未知量 并未参与运算． 即: 求解线性方程组实质上是对增广矩阵施行3种初等运算： (1) 对调矩阵的两行. (2) 用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素. (3) 将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数k后加到另一行对应元素上. 统称为矩阵的初等行变换 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)． 定义2 下面三种变换称为矩阵的初等行变换(elementary row operation): (1) 对调两行(对调i, j两行, 记作ri ?rj) (2) 以数k≠0乘以某一行的所有元素(第i行 乘k, 记作ri×k) 把某一行所有元素的k倍加到另一行 对应的元素上去(第j行的k倍加到第i行上记作ri+krj) 矩阵的初等列变换与初等行变 换统称为初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 逆变换 逆变换 逆变换 矩阵等价具有下列的性质： 具有上述三条性质的关系称为等价关系． 定义3 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价 (equivalent), 记为 (1) 反身性：A A (2) 对称性：若A B，则B A (3) 传递性：若A B, B C, 则A C 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 三种初等变换对应着三种初等方阵. 定义4 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵. (1) 对调两行或两列 (2) 以数k≠0乘以某行或某列 以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去 三种初等矩阵 (1) 对调两行或两列 对调E中的第i, j两行(两列), 得初等矩阵 (2) 以数k≠0乘某行或某列 以数k≠0乘E的第i行(列), 得初等矩阵 以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去 以数k乘E的第j行加到第i行上或以k乘E的第i列加到第j列上得到初等矩阵 例 以下矩阵是否初等矩阵? 2. 初等矩阵均可逆 1. 初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵. 变换ri ?rj的逆变换是其本身，则 变换ri×k的逆变换为 ，则 变换ri +krj的逆变换为ri+(－k)rj，则 性质1 设A是一个s? n矩阵, 对A施行一次初等行变换, 相当于在A的左边乘以相应的s阶初等矩阵; 对A施行一次初等列变换, 相当于在 A的右边乘以相应的n阶初等矩阵. 初等变换 初等 矩阵 证明: 用s阶初等矩阵Ps(i, j)左乘A=(aij)s×n,得 相当于 类似地, n阶初等矩阵Pn(i, j)右乘A,得 相当于 类似地, 以Pn(i(k))右乘矩阵A,