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* §2 行列式的性质与计算 * * * §2 行列式的性质与计算 §1 行列式的定义 §3 行列式的展开定理 第一章 行列式 习题课 一、行列式的性质 二、应用举例 转置行列式 行列式 设 称为D的转置行列式， 记作 　或 行列互换，行列式不变，即 一、行列式的性质 性质1 (行列式与其转置行列式相等) 记 另一方面，按行列式的等价定义Ｄ可表成 证： 其中 按行列式的定义 性质2 设行列式 证： 是由行列式D交换 i ，j两行得到，即 (换法变换) 对换行列式中两行（列）位置， 行列式反号． 记号： 于是， 推论 如果行列式中有两行（列）相同，那么 该行列式为零． (倍法变换) 行列式某行（列）元素的 公因子可提到行列式符号之外．即 推论1 行列式中某一行（列）为零，则行列式为零． 性质3 或者说，以一数乘行列式的一行（列）就相当于 用这个数乘此行列式． 记号： 行列式中两行（列）成比例，则行列式为零. 推论2 性质4 (分行相加性)若行列式的某一行（列）的元 素都是两数之和，则行列式可按此行（列）拆成 两个行列式之和，即 性质5 (消法变换) 把行列式的某一行（列）的 倍数加到另一行（列），行列式不变. 记号： 4、如此继续下去，直至使它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值. 化行列式为上三角形行列式 1、先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0 ，如为1； 2、然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列除第一个元素外其余元素全为0； 3、再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式； 解： 例1. 计算行列式 二、应用举例 解： 计算n阶行列式 例2 按本例，特别地有：