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§2.2 Cauchy-Riemann方程 定义2.2.1 设是域,是上的函数,.如果二元实函数在处可微,即 , 则称在处实可微.称为在处的微分. 命题2.2.2 记,,, ,则在处实可微等价于 . 此时,就是在处的微分.这说明,如果将复变函数视为的函数,则其微分的形状与实变函数一样. 证： .# 定理2.2.3和定理2.2.4 设是域,是上的函数,.那么,在处可导的充要条件是 (ⅰ) 在处实可微； (ⅱ) 在处满足齐次Cauchy-Riemann方程. 此外,满足齐次Cauchy-Riemann方程还可改写成, ；当在处可导时,.这说明, 是全纯函数,在直观上可理解为“与无关”. 证：“充分性”.若在处实可微,并且,则 , 这就是在处可导的等价条件. “必要性”.若在处可导,则存在有限极限 , . 故 , . 再由 ,便知在处实可微. 最后,由,便知等价于.# 重要的数学符号 设是域.用表示上全纯函数的全体, 表示上连续函数的全体,表示上一切阶偏导函数都连续的函数的全体,表示上任意阶偏导函数都连续的函数的全体,则有如下包含关系(以后再证) . 例 2.2.5 是上的全纯函数. 证：因为.# 例 2.2.6 仅在处可导. 证：因为实可微,且之故.# 定义2.2.7和命题2.2.8 设是域,是实值函数.如果,总成立 , 则称是上的调和函数.称为Laplace算子. 证： .# 定理2.2.9和定义2.2.10 设是域.若,则都是上的调和函数.通常称是的共轭调和函数. 证：,故.# 定理2.2.11 设是单连通域上的调和函数,则必存在上的全纯函数,使得. 证：因为,即是单连通域上的1次闭微分形式,故它也是上的1次恰当微分形式,从而存在上的实值函数,使得,即,这说明.# 习题2.2() 1,2,3,8,11,12,15,16.