§3 整数和有理数.pptVIP

　　§3 整数和有理数 一、整数系 (1)整数的定义及运算; (2)整数的顺序关系。 二、有理数系 (1) 有理数的定义及运算; (2) 有理数的顺序关系。 一、整数系 设N*×N*是一切自然数序偶的集合,即N*×N*=｛(a,b)|a,b∈N*｝ 两序偶(a,b)、（c,d）相等,当且仅当a=c、b=d. 设(a,b),(c,d)∈N*×N*,如果a+d=b+c,则称(a,b)等价于(c,d),记为(a,b)～(c,d). N×N中关系“～”是个等价关系,即关系“～”满足 ：反身性，对称性，传递性 整数集Z中的加法、乘法运算满足结合律、交换律和分配律. 整数[1，1]叫做整数集Z的零元（或者叫做数零）；对任意整数[a，b]（a ≠b），[b，a]叫做[a，b]的负元（或者叫做相反数）记为-[a，b]. 例 已知[a，b]，[c，d]∈Z，求证： 方程[c，d]+x=[a，b]在Z中有且仅有一解. （二）整数的顺序关系 设α、β∈Z，若α-β∈Z+，则称α大于β，记为α＞β，或称β小于α，记β＜α. Z中的顺序关系“＞”满足反自反性，传递性，全序性. Z中的顺序关系“＞”满足加法和乘法的保序性.即： （1）若a＞b，则a+c＞b+c，a，b，c∈Z； （2）若a＞b，c＞0，则a·c＞b·c，a，b，c∈Z. 在整数集中，消去律成立，即 （1）若a+c=b+c，则a=b； （2）若c≠0，ac=bc，则a=b. 三、自然数的加法满足结合律与交换律 定理1 自然数的加法满足结合律与交换律.即对任何a、b、c∈N*，有 （1）a+（b+c）=（a+b）+c； （2）a+b=b+a. （3）若a＞b，c＞0，则a·c＞b·c，a，b，c∈Z. 在整数集中，消去律成立，即 （1）若a+c=b+c，则a=b； （2）若c≠0，ac=bc，则a=b. 四、有理数的定义及运算 若（a，b），（c，d）∈Z×Z0，且ad=bc，则称（a，b）等价于（c，d），记为（a，b）～（c，d），其中Z0为非零整数集，Z×Z0=｛（a，b）|a∈Z，b∈Z0｝. Z×Z0中序偶的等价类叫做有理数，一切有理数的集合叫做有理数集，记为Q. 设[a，b]，[c，d]∈Q，则Q中加法、乘法规定为： [a，b]+[c，d]=[ad+bc，bd]； [a，b]·[c，d]=[ac，bd]. 有理数的加法、乘法满足结合律、交换律和分配律. 有理数[0，1]，[1，1]分别叫做Q的零元（或数“零”），单位元（或数“1”）.对任意 有理数[a，b]，[-a，b]叫做[a，b]的负元（或相反数），记为-[a，b]； 如果[a，b]≠[0，1]，则[b，a]叫做[a，b]的逆元（或倒数），记为[a，b]-1或. 例题 例 证明：在有理数集中，方程[c，d]+x=[a，b]有且仅有一解. 例 证明：在有理数集中，当[c，d]≠[0，1]时，方程[c，d]·x=[a，b]有且仅有一解. 由两例可知，在有理数集Q中，加、减、乘、除四则运算总能普遍施行. 五、自然数的顺序关系 定义6 设a、b∈N*，如果存在一个自然数k，使a=b+k，就说a大于b，记为a＞b；或说b小于a，记为b＜a. 定理5 自然数集中的关系“＞”满足下列性质： （1）（反自反性）a≯a， a∈N. （2）（传递性）若a＞b，b＞c，则a＞c. （3）（全序性）对于N中任两个数a、b， a＞b，a=b，b＞a有且仅有一种成立。 若 a/b,c/d 是有理数，且 a/b – c/d∈Q+，则称a/b大于c/d或者c/d小于a/b，记为a/b＞c/d 或c/d＜a/b. Q中的顺序关系“＞”具有反自反性、传递性、全序性以及加法和乘法的保序性. （阿基米德性质）设a/b，c/d∈Q+，则存在n∈N，使n·a/b＞c/d. （稠密性）若α，β∈Q，且α＜β，则存在γ∈Q，使α＜γ＜β. * * （一）整数及运算 六、有理数的性质