数学的美与理.ppt

数学中所谓美的问题，是指一个难以解决的问题；而所谓美的解答，则是指对于困难和复杂问题的简单回答。－狄罗德 简洁美包括：符号美、抽象美、统一美 “+” ------ Plus “-” ------ Minus “=” ------ Aequalis “未知数”-----Redix(根) , Res(东西) 韦达(Vieta,1540-1603)首创了符号体系思想，并由此规定出算术与代数的分界。 “等于” → “∝”，“ ”，Robert, (1510-1558),建议用“=”沿用至今 莱布尼茨(Leibnize) 另一位符号大师－欧拉（Euler） 数学家能够提出与众不同的观点；更重要的是，他能将很多看似完全不同的问题统一起来. 而统一的前提便是抽象 抽象 = ? 抽象 = 难得糊涂: 忽略差别,提取共同点 300多年来，数千位数学家参与证明 Fermat 本人证明了n=4的情形。 1753年，Euler证明了n=3. 1825年，Dirchlet与Legendre证明了n=5. 1832年，法国女数学家索非热尔曼证明：如果n和2n+1为素数，Fermat大定理成立。 1839年，拉梅证明了n=7. 1847年，德国数学家Kummer证明了对n100(除出37,59,67), Fermat定理成立。 1983年，德国数学家法尔廷斯证明了：对每个n2, 方程只有有限个解。 1993年，Princeton大学的教授威尔斯宣布证明了Fermat定理。但数学家发现了证明中的一个漏洞。经过九个月的努力 威尔斯修正了这一错误，这标志着Fermat大定理被彻底征服。 威尔斯的证明完全采用了全新的路线，用到了现代数学的许多分支：椭圆曲线论，模形式论，伽罗华表示论等。 所谓椭圆曲线是如下形式的曲线： 椭圆曲线与模形式之间有紧密的联系。50年代，日本数学家谷山丰和志村五郎猜测：有理数域上的每条椭圆曲线都存在模形式。被乘为“谷山-志村”猜想。 60年代，有人将Femat 方程与椭圆曲线联系起来。1984年，佛赖证明，如果Fermat大定理不成，则由Fermat方程确定的椭圆曲线不可能是模形式，这与谷山- 志村猜想矛盾！因此，要证明Fermat大定理，只需证明谷山-志村猜想。威尔斯所做的正是证明了该猜想。 分形时装 ● ● ● ● ● 这个运动表明： 当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点 这个运动表明： 当x沿直线趋于负无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点 演示表明：在直线上无论x是趋于 ，还是趋于 ，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点——顶点！ 集合A与B称为基数相等，如果A，B之间存在1-1对应关系（1-1映射）。记为 显然基数概念推广了个数概念。 1、有理数与自然数一样多 这个集合的基数不超过自然数的基数，而自然数是其子集，所以这两个集合的基数相等。同样的理由知道有理数与自然数一样多。 2、（0，1）与（0，+∞）的点一样多 3、（0，1）的点比自然数多 5、自然数是基数最小的无穷集合。 4、自然数的所有子集所成的集合与（0，1）的基数一样。 由此人们给出了处理无穷多（自然数）的一个方法——数学归纳法： 如果与自然数k有关的命题P(k)满足条件（1） P(1)成立； （2）若P(n)成立，则P(n+1)也成立, 则P(k)对所有的自然数成立。 1.Van Koch 雪花曲线 分形欣赏 2、Minkowski “香肠” 3、Sierpinski地毯 4、龙曲线 5、Hilbert曲线 6、花草树木(L 系统） 龙曲线 例（七桥问题）如图，能否从某个桥出发，走过所有的桥，但每座桥只 经过一次？ A B C D ？ ？ B A C D B A C D 2 4 2 1 3 3 1 3 3 3 5 例 人的头发问题 有人声称，他可以证明，在长沙市， 至少有两个人的头发根数相同。 你相信吗？ 据科学家研究得到：人的头发大约在15万根 左右，而长沙市人口远远大于这个数。故结 论成立。 这就是所谓的抽屉原理或鸽笼原理。 几何：点对称、线对称、面对称、球对称。球面被认为最完美！ 代数与函数论：共轭数（共轭复数、共轭空间）。 运算：交换律、分配律，函数与反函数运算。 二项式定理的展开式中的系数构成的杨辉三角形： 1 1 2 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 5 1 命题变换中： 命题 逆命题 否命题 逆否命题 构造魔方是一个古老的数学游戏，起初它还和神灵联系在一起，带有深厚的迷信色彩。传说三千二百多年前（公元前2200年），