第一+二节(符号法,拉普拉斯变换).pptVIP

* 第六章 拉普拉斯变换 历史上，Laplace变换出现于无线电工程师Heaviside发明的求解线性微分方程的符号法之后———后经Jeffreys发展为——运算微积。 上章指出，Fourier积分和Fourier变换存在的条件是原函数 f(x)在任一有限区域上满足Dirichlet 条件，并且在 区间上绝对可积，这是很强的条件。在许多物理现象中，考虑 的是以时间为自变量的函数(如，研究电路中电流、电压和电量 的时间变化规律)的初值问题：即已知物理量在初始时刻t=0(电路 接通瞬时)的值f(0),研究它们在t0(联络接通后)的变化情况f(t),对于 t0(电路接通之前)的情况，可以不必考虑。另外，许多常见函数 (如多项式、三角函数等)不满足Fourier变换的条件。 总之，对于物理学和工程技术上常遇到的定义在 的 函数f(t) , Fourier变换不再有效，为此我们必须采用新的变换。 §6.1 符号法 函数 的n阶导数可以看成求导算符 在函数 作用n次的结果 p的倒数 可解释为 积分算符 例： 无线电工程师亥维赛(Heaviside)把符号法应用于求解线性微分方程,从而大大推广了符号法的应用。 运算微积的原始形式是符号法。 例如：电阻R和自感L串联电路微分方程是 则有 然后分式展开 p在分母中，没有意义 就得到方程的解！ 但p与1/p的次序不能交换 后来建立符号法与拉普拉斯变换之间的联系，改称为 运算微积，字母p不再代表算符，而是代表一个复变数。 §6.2 拉普拉斯变换 (一) 拉普拉斯变换的定义 拉普拉斯变换 存在的条件比傅里叶变换宽松的多 拉普拉斯变换常用于初始值问题,即已知某个物理量在初始 时刻t=0的值f(0),求解初始时刻之后的变化情况f(t),至于初始 时刻之前的值,我们不感兴趣,可令 我们把f(t)加工成g(t) 是收敛因子,可以保证g(t)在区间 上绝对可积 可以对g(t)施行傅里叶变换: 记 为 p 且将 记作 拉普拉斯积分 f(t)的拉普拉斯变换函数 拉普拉斯变换 核 的傅里叶逆变换为: 原函数 像函数 拉普拉斯变换对 黎曼—梅林反演公式 存在的条件是：(1)在 的任意有限区间上,除了有限个第一类间断点外,函数f(t)及其导数 处处连续， (2)存在常数M0和 对于任意t,有 的下界称为收敛横标,表示为 ,实际用中，大多数函数都 满足此充分条件. 例1 求 解 在Rep0 (即 ) 的半平面上, 故有 例2 求 解 在Rep0半平面上, 故 同理可得 例3 求 S为常数 解 在RepRes 半平面上, 故 例4 求 ,s为常数 解 在RepRes半平面上, 故 同理可得 例5 求 ，f(t)是存在拉氏变换的任意函数 解 将拉氏变换的定义式分别对p求导可得 则可得 (二) 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯变换函数 有以下特性 (1) 为 半平面上的解析函数 (2) 存在,且满足 (1) 线性定理 证 同理可证逆变换. 拉普拉斯变换与傅立叶变换同为积分变换，故有类似性质 例6 求 为常数 解 同理 (2) 导数定理 取 则 推广可得 证 (3) 积分定理 证 应用导数定理 故可得 (4) 相似性定理 (5) 位移定理 证 积分下限可改为t0 变量代换 (6) 延迟定理 *