4-4 单纯矩阵的谱分解.pptVIP

* Department of Mathematics Company LOGO Department of Mathematics Department of Mathematics * * 矩 阵 论 电 子 教 程 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 矩阵的分解 第 四 章  §4.4 单纯矩阵的谱分解 定理1: 设 是一个 阶可对角化的矩阵，相异 特征 值为 ，则 使得: 此式称为A的谱分解 称为A的谱族 且满足: 分析: 设 是 的代数重复度 则: 证明(1) 因为 所以: 证明(2) (3)由 得 同理可得 证明: 而: ,所以: 证明: 证明:(5) 假设A有谱分解 和 则由(3)知: 由于 ,所以: 同理可得: 因为 因为 所以, 唯一性得证 可对角化矩阵的谱分解步骤： （1）首先求出矩阵 的全部互异特征值 及每个特征值 所决定的线性无关特征向量 （3）令: （2）写出 （4）最后写出 例1：已知矩阵 为一个可对角化矩阵，求其谱分解表达式。 解: 首先求出矩阵 的特征值与特征向量。 容易计算 从而 的特征值为 可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无关的特征向量: 于是 取 令 那么其谱分解表达式为 正规阵的谱分解: 设 为正规矩阵，那么存在 使得: 其中 是矩阵 的特征值 所对应的单位特征向量。我们称上式为正规矩阵 的谱分解表达式。 设正规矩阵 有 个互异的特征值 ， 特征值 的代数重数为 ， 所对应的个两两正交的单位特征向量为 ,则 的谱分解表达式又可以写成 其中 ，并且显然有: （6）满足上述性质的矩阵 是唯一的。我们称 为正交投影矩阵。 即对于正规阵,满足如下6条: 推论1 设 是一个 阶可对角化的矩阵， 谱分解为: ,若: 则有 解：首先求出矩阵 的特征值与特征向量。容易计算 例 2 ： 求正规矩阵 的谱分解表达式。 从而 的特征值为 当 时，求得三个线性无关的特征向量为 当 时，求得一个线性无关的特征向量为 将 正交化与单位化可得 将 单位化可得： 于是有 这样可得其谱分解表达式为 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Department of Mathematics Department of Mathematics