第四章 经典线性回归模型(高级计量经济学-清华大学 潘文清).pptVIP

第四章 经典线性回归模型(I) Classical Linear Regression Model (I) §4.1 经典线性回归模型Classical Linear Regression Models 一、经典回归模型 Classical Regression Model 经典回归模型(classical regression model)建立在如下假设之上： 假设1(linearity): Yi=?0+?1X1i+…+?kXki+?i =Xi’?+?i (i=1,2,…n) 或 Y=X?+? 其中，?=(?0, ?1,…,?k)’, ?=(?1,?2,…,?n)’ 假设2（strict Exogeneity）: E(?i|X)=E(?i|X1,X2,…Xn)=0, (i=1,2,…n) (3) 计量经济学中，关于严格外生性有其他的定义。如定义为?i独立于X，或X是非随机的。这一定义排除了条件异方差性。而我们这里的假设2是允许存在条件异方差性的。 注意： (1)本假设排除了解释变量间的多重共线性(multicollinearity) (2) 本假设意味着X’X是非奇异的，或者说X必须满秩于k+1。因此应有k+1≤n。 (3) 由于λ表述了矩阵X’X的相关信息，因此本假设意味着当n?∞时应有新信息进入X，即Xi不能老是重复相同的值。 假设4（Spherical error variance） (a) [conditional homoskedasticity]: E(?i2|X)=?20, i=1,2,…,n (b) [conditional serial uncorrelatedness]: E(?i?j|X)=0, i, j=1,2,…,n (3) 假设4意味着存在非条件同方差性： var(?i)=?2 类似地， Cov(?i, ?j)=0 二、参数?的估计 Estimation of ? 由假设1与假设2知： E(Y|X)=?0+?1X1+…+?kXk=X’? 其中，X=(1, X1, …,Xk)’ 即线性模型Y=X’?+?关于E(Y|X) 正确设定。 由类比法，对样本回归模型 Yi=Xi’b+ei i=1,2,…,n 其中，Xi=(1, X1i, …,Xki)’, b=(b0, b1, …,bk)’ 需求解极值问题 min (1/n)?(ei)2 一些有用的等式 (1) X’e=0 (2) b-?=(X’X)-1X’? 因为 b=(X’X)-1X’Y=(X’X)-1X’(X?+?)=?+(X’X)-1X’? (3) 定义n?n方阵： P=X(X’X)-1X’ , M=In-P 则 P=P’ ， M=M’ P2=P， M2=M 且 PX=X, MX=On?(k+1) (4) e=MY=M? SSR(b)=e’e=Y’MY=?’M? 三、高斯-马尔科夫定理Gauss-Markov Theorem Question: OLS估计量的统计性质如何？ (1)[Unbiaseness] E(b|X)=?, E(b)= ? E(b|X)=E[(?+(X’X)-1X’?)|X]=?+(X’X)-1X’E(?|X)=? (2)[Vanishing Variance] Var(b|X)=E[(b-?)(b-?)’|X] =E[(X’X)-1X’??’X(X’X)-1|X] =(X’X)-1E(??’|X) =(X’X)-1?2I =?2(X’X)-1 b中第i个元素的方差：Var(bi)= ?2cii, cii为(X’X)-1中主对角线第i个元素。 对任何其元素平方和为1的(