e与π的超越性的新证明.pdfVIP

(2)求二面角B一朋一D的平面角的余弦值． +2×l×佤．(一～5-)+2×胁×画．(一i1)- 解 (1)证明略 (2)过点D作DM上EF，垂足为肘，因为四边形 2A2+1+钆2一舢一2札=2(A一等)2+÷(肛一 了2)2+了1≥了1，所以I-d-矿l≥譬，所以直线DA’与 AC的距离为譬． 2．4 求二面角的平面角的大小 -． 在图1中，如果AC，BD分别是二面角a—AB— JB的两个面内与棱AB垂直的异面直线，则二面角的 D—M 大，J、为(AC，日D． ·MF+2MF·FB+2 例4(2010·湖北 DM·FB。丽DMLEF。EFL 六市联考·文18)如图5， FB，所以12=5+3+8+2 在梯形ABCD中，AB∥E 249…s(蔚，赢)，所以co。(屙，两：一等， CD．AD=DC=CB=AE =2，／_ABC=600，平面 所以c。。(府，赢)：业1／3 ACFE上平面ABCD，四边 形AC朋是矩形． A B 所以二面角丑一EF—D的平面角的余弦值为 (1)求证：BC上平面 瓜 图5 10‘ ACFE； e与仃的超越性的新证明 100875 北京师范大学数学学院 王世强 100071 中央财经大学应用逻辑研究所 史瑗 大家都知道自然对数的底e与圆周率霄这两个 数无理数．并且已被证明它们都不适合任何整系数 弱．我们的朋不包含非标准自然数．因为绝大多数 代数方程，因而被称为“超越数”．1873年，C．数学家都不考虑非标准自然数]． Hermite证明了e是超越数．1882年，F．von 看下列的无限语句集：U={黝；9。(菇)=0， Lindmann证明了仃是超越数．但他们的证明都长达 几十页．我们最近用”数理逻辑”方法得到这两个超 中的一切方程式)并且(茗≠e)并且(x= 越性的简单证明，都只有两页．其大意是：假若e能 0)]．．…·(Q)}．对于u的任何有限子集V，易见有整 适合一个整系数代数方程，我们就能得到一个矛盾． 数环，模某个的剩余类环I／(k)能适合E因而由模 对仃也是如此． 型论中的紧致性定理可知U自身有一个模型胍我 定理1 e是超越数． 们来看肘：由肘适合PA可知肘不适合(口)．但这又 证明 假若不是，则有：(H)“e适合一个整系 与肘是(，的模型矛盾．这一矛盾是由(日)而来．所以 (日)为假．定理l成立． 数代数方程p(茗)=0”．这时，e也适合：口，(名)= 与以上类似地，可以证明：定理2．仃是超越数． p(戈)(菇一1)=0，q2(菇)=p(菇)(名一1)(省一2)= 作者简介：王世强(1927一)．北京