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关于正整数的四次方部分数列 　　On the Positive Integer Part of the 4-th Power 　　Zhang Shaojie 　　Shaanxi Institute of Technology，Xian 710300，China） 　　 　　摘要： 设n 是正整数，u(n)表示不超过n 的最大四次方部分，v(n)表示不小于n 的最小四次方部分。本文的主要目的是研究数列 u(n)和v(n)的均值性质，并对罗马尼亚数论专家F.Smarandach 教授在文献[1]中提出的第41个问题做出实质性进展，利用解析分析方法给出了包含这两个数列及除数函数的几个有趣的渐近公式。 　　Abstract: For any positive integer n，let u4(n) and v4(n) denote the inferior and superior the 4-th power part of n respectively. The main purpose of this paper is to study the asymptotic properties of the sequences u■(n) and u■(n), Romania and a number of experts Professor F. Smarandach in the literature[1] the first 41 to make substantial progress in the problem, using analytical methods to resolve, given included the two divisor function series and several interesting asymptotic formula. 　　关键词： 四方部分 均值 渐近公式 　　Key words: 4-th power part；mean value；asymptotic formula 　　中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）29-0221-02 　　1引言及结论 　　1993年罗马尼亚数论专家F.Smarandach教授提出了正整数n的k次幂部分数列。 　　定义：设对整数n，n的k次幂部分数列定义如下： 　　u■（n）=maxm■m■?燮n，m∈N■，v■（n）=minm■m■?叟n，m∈N■，其中k∈N■，称u■（n）表示不超过n的最大k次方部分，亦称为下部k次幂部分数列，称v■（n）表示不小于n的最小k次方部分，亦成为上部k次幂部分数列。例：当k=4时 　　u(1)=1,u(2)=1,u(3)=1,u(4)=1,u(5)=1, …，u(16)=16,…。 　　v(1)=1vb(2)=16,v(3)=16,v(4)=16,v(5)=16,v(6)=16,…。 　　对于任何正整数n，当h4?燮n（h+1）4时，u4（n）=h4，当 　　h4n?燮（h+1）4，vk（n）=（h+1）4，k=2，3，4，… 　　在文献[1]的第41个问题中，罗马尼亚数论专家F.Smarandach教授要求我们研究数列u4（n）和v4（n）的性质。有关正整数n的k次幂部分数列的性质，文献[2]利用初等的方法研究了正整数的平方部分与立方部分的求和公式；文献[3]利用计算机程序研究了自然数幂和公式的计算机实现；文献[4-5]利用解析的方法研究了关于正整数的立方部分数列的均值公式。最具典型的是著名数论专家教授张文鹏在文献[4]给出了关于正整数的立方部分数列的两个精确的渐近公式，即 　　■d（u（n））=■Axln■x+Bxln■x+Cxlnx+Dx+Ox■ 　　■d（v（n））=■Axln■x+Bxln■x+Cxlnx+Dx+Ox■ 　　其中A=■1-■，B，C，D是常数，■表示对所有的素数求和。 　　本研究主要利用欧拉公式、阿贝尔恒等式、欧拉积公式和Perron公式等进一步研究了这两个数列的均值性质，推广了张文鹏教授的结果，给出了两个有趣的渐近公式。主要结果如下： 　　定理1 对任一实数x＞1，我们有渐近公式 　　■du■（n）=■xln■x+A■xln■x+A■xln■x+ 　　A■xlnx+A■x+Ox■ 　　其中A=■1-■，B，C，D是常数，■表示对所有的素数求积，d(n)是Dirichle除数函数，ε是任一给定的正数。 　　对数列{v(n)}，我们也可以得到类似的结论，即就是： 　　定理2 对任一实数x＞1，我们有渐近公式 　　■dv■（n）=■xln■x+A■xln■x+A■xln■x+ 　　A■xlnx+