梁弯曲变形中关于几何关系推导的教学探讨_胡育佳.pdfVIP

201 4 年1 月 教育教学论坛 Jan.2014 第3 期 EDUCATION TEACHING FORUM NO.3 梁弯曲变形中关于几何关系推导的教学探讨 胡育佳 （上海理工大学 机械工程学院，上海 200093） 摘要：在梁弯曲变形中，几何关系的研究是材料力学教学中的一个重要环节，然而在大多数材料力学的教材中，往往 对这部分的说明过于简单，特别是在几何关系数学模型的建立上，存在很大的跨度，给教师的授课和学生的学习带来了 一定的困扰，甚至产生困惑。本文将严格从微分几何关系和小变形基本假设出发，建立在小变形情况下梁弯曲变形的几 何关系。这种推导方式在数学上严格，容易让学生理解，具有一定的教学推广意义。 关键词：弯曲变形；几何关系；微分几何 中图分类号：G642.0% 文献标识码：A 文章编号：1674-9324（2014）03-0282-02 一、传统的推导方式[1，2] 在小变形假设条件下，讨论梁的弯曲变形，以变形前梁 的轴线为x轴，垂直向上的轴为y轴（图1），xy平面为梁的纵 向对称面。在对称弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xy 平面内的一条曲线，称为挠曲线。挠曲线上横坐标为的x任 意点的纵坐标用u来表示，它代表坐标为x的横截面的形心 沿y方向的位移，称为挠度。弯曲变形中，梁的横截面对其原 来位置转过的角度θ，称为截面转角。根据平面假设，弯曲 变形前垂直于轴线（x轴）的横截面，变形后仍然垂直于挠曲 线。所以，截面转角θ就是y轴与挠曲线的夹角。它应等于挠 曲线的倾角，即等于x轴与挠曲线的夹角。故： tanθ=du （1） 图1 挠曲线示意图 dx 又由于在小变形情况下，截面转角θ是一个小量，则： 1 du =θ；tanθ= （2） ρ dx 其中，ρ为平面梁截面处任意位置的曲率半径。公式 （1）和（2）即为小变形情况下，平面直梁弯曲的几何关系。 二、严格的推导方式 从上面的公式推导可以看出，公式（1）的得到并没有严 格的数学证明，完全从图1和相应的假设近似得到，这不但 给任课教师的课堂讲授带来困难，也给学生对梁的几何关 系的理解带来了很大的困惑。下面我们将采用微分几何的 方法对具有任意构型的平面曲梁结构进行分析，得到这类 曲梁结构在小变形情况下的几何关系，进一步退化得到平 面直梁在小变形情况下的几何关系，即公式（1）和（2）。 图2 变形前后的构型 假设l是曲梁的初始长度，w（s）和u（s）分别是曲梁任 其中，w（s）和u（s）分别变形后曲梁上任意一点在x和y 0 0 方向的位移（图2）。忽略梁变形前后轴线的伸长，将公式（5） 意位置处x和y方向的初始位移。其中s∈[0，l]是沿曲梁轴向 的弧坐标。并且假设曲梁的初始构形所占有的区域为（图 中的函数对弧长s求导得到： d（u+u） d（w+w） 2）： 0 =sinθ， 0 =cosθ （6） Γ ：{（x，y）|x=w（s），y=s+u（s），0≤s≤l} （3） ds ds 0 0 0 将公式（4）带入公式（6），可以得到曲梁的几何关系为： 其中θ （s）表示初始构形上任意点C（w，s+u）处的切 0 0 0 du dw 线