【步步高】高考数学轮知识点巩固题库矩阵与变换(含解析)新人教A版选修-.docVIP

选修4-2 矩阵与变换 1．已知矩阵A＝1　　 2－2　－3)，B＝2　31　2)，C＝0　11　0)，求满足AXB＝C的矩阵X. 解 AXB＝C，所以(A－1A)XB·B－1＝A－1CB－1 而A－1AXB·B－1＝EXBB－1 ＝X(BB－1)＝X，所以X＝A－1CB－1 因为A－1＝－3　－22　　　1)， B－1＝2　－3－1　2)， 所以X＝A－1CB－1 ＝－3　－22　　　1)0　11　0)2　－3－1　2) ＝－2　－31　　　2)2　－3－1　2) ＝－1　00　　1). 2．设圆F：x2＋y2＝1在(x，y)→(x′，y′)＝(x＋2y，y)对应的变换下变换成另一图形F′，试求变换矩阵M及图形F′的方程． 解 ∵x′y′)＝x＋2y　y)＝1　20　1)xy)， ∴M＝1　20　1). ∵圆上任意一点(x，y)变换为(x′，y′)＝(x＋2y，y)， ∴x′＝x＋2yy′＝y)， 即x＝x′－2y′y＝y′). ∵x2＋y2＝1， ∴(x′－2y′)2＋(y′)2＝1. 即F′的方程为(x－2y)2＋y2＝1. (1)求实数a、b、c、d的值； (2)求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程． 解　(1)由题设得：c＋0＝2，2＋ad＝0，bc＋0＝－2，2b＋d＝0.解得a＝－1，b＝－1，c＝2，d＝2. (2)∵矩阵M对应的线性变换将直线变成直线(或点)， ∴可取直线y＝3x上的两点(0，0)，(1，3)， 得点(0，0)，(1，3)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点(0，0)，(－2，2)． 从而，直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y＝－x. 4．已知二阶矩阵A＝a　bc　d)，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a1＝　1－1)，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a2＝32)，求矩阵A. 解　由特征值、特征向量定义可知，Aa1＝λ1a1， 即a　bc　d) 　1－1)＝－1×　1－1)，得a－b＝－1，c－d＝1.) 同理可得3a＋2b＝12，3c＋2d＝8.)解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1. 因此矩阵A＝2　32　1). 5．设矩阵M＝a　00　b)(其中a0，b0)． (1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1； (2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：x24＋y2＝1，求a、b的值． 解　(1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝x1　y1x2　y2)， 则MM－1＝1　00　1). 又M＝2　00　3).∴2　00　3) x1　y1x2　y2)＝1　00　1). ∴2x1＝1，2y1＝0，3x2＝0，3y2＝1， 即x1＝12，y1＝0，x2＝0，y2＝13， 故所求的逆矩阵M－1＝\f(1213). (2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，则a　00　b)xy)＝x′y′)，即ax＝x′，by＝y′，)又点P′(x′，y′)在曲线C′上， ∴x′24＋y′2＝1.则a2x24＋b2y2＝1为曲线C的方程． 又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故a2＝4，b2＝1.) 又a0，b0，∴a＝2，b＝1.) 6．给定矩阵M＝\f(213123)，N＝2　11　2)，向量α＝　1－1). (1)求证：M和N互为逆矩阵； (2)求证：向量α同时是M和N的特征向量； (3)指出矩阵M和N的一个公共特征值． 解 (1)证明：因MN＝\f(213123) 2　11　2)＝1　00　1)， 且NM＝2　11　2)\f(213123)＝1　00　1)， 所以M和N互为逆矩阵． (2)证明：因为Mα＝\f(213123)　1－1)＝　1－1)， 所以α是N的特征向量． 因为Nα＝2　11　2)　1－1)＝　1－1)， 所以α是N的特征向量． (3)由(2)知，M对应于特征向量　1－1)的特征值为1，N对应于特征向量　1－1)的特征值也为1， 故1是矩阵M和N的一个公共特征值．