【步步高通用(理)】高轮专题突破专题讲集合与常用逻辑用语.docVIP

第1讲　集合与常用逻辑用语 【高考考情解读】　1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下． 1． 集合的概念、关系与运算 (1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验． (2)集合与集合之间的关系：A?B，B?C?A?C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2. (3)集合的运算：?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)，?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(?UA)＝A. 2． 四种命题及其关系 四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理． 3． 充分条件与必要条件 若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p?q，则p，q互为充要条件． 4． 简单的逻辑联结词 (1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题． (2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)． 5． 全称量词与存在量词 “?x∈M，p(x)”的否定为“?x0∈M，綈p(x0)”；“?x0∈M，p(x0)”的否定为“? x∈M，綈p(x)”. 考点一　集合间的关系及运算 例1　(1)(2012·课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为 (　　) A．3 B．6 C．8 D．10 (2)设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图 中阴影部分表示的集合为 (　　) A．[－1,0] B．(－1,0) C．(－∞，－1)∪[0,1) D．(－∞，－1]∪(0,1) 弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键． 答案　(1)D　(2)D 解析　(1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}， ∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4. ∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}， ∴B中所含元素的个数为10. (2)因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x20}＝{x|－1x1}，则u＝1－x2∈(0,1]， 所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}， A∪B＝(－∞，1)，A∩B＝(－1,0]， 故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)． (1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果． (2)对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也可以借助数轴、韦恩(Venn)图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解． (1)(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是 (　　) A．1 B．3 C．5 D．9 (2)设全集U＝R，集合P＝{x|y＝ln(1＋x)}，集合Q＝{y|y＝x}，则 右图中的阴影部分表示的集合为 (　　) A．{x|－1x≤0，x∈R} B．{x|－1x0，x∈R} C．{x|x0，x∈R} D．{x|x－1，x∈R} 答案　(1)C　(2)B 解析　(1)x－y∈\a\vs4\al\co1(－2，－1，0，1，2). (2)由1＋x0得x－1，即P＝{x|x－1}；Q＝{y|y≥0}，因此结合题意得，题中的阴影部分表示的集合是P∩(?RQ)＝{x|－1x0，x∈R}． 考点二　四种命题与充要条件 例2　(1)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(　　) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c23 B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c23 C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3 (2)设x，y∈R，则“x2＋y2≥9”是“x3且y≥3”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 (1)从“否命题”的