【创新方案】(浙江专版)高考数学轮复习节函数的单调性与最值突破热点题型文.docVIP

第二节 函数的单调性与最值 答案：①③④ 考点一 函数单调性的判断与证明 　 [例1]　已知函数f(x)＝x2＋1－ax，其中a0. (1)若2f(1)＝f(－1)，求a的值； (2)证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数． [自主解答]　(1)由2f(1)＝f(－1)， 可得22－2a＝ 2＋a，所以a＝2)3. (2)证明：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1x2， f(x1)－f(x2)＝ 21)＋1－ax1－ 22)＋1＋ax2 ＝ 21)＋1－ 22)＋1－a(x1－x2) ＝222x\o\al(2x\o\al(22)＋1－a(x1－x2) ＝(x1－x2)\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2x\o\al(2x\o\al(22)＋1))－a. ∵0≤x1 21)＋1，0x2 22)＋1， ∴0x1＋x2x\o\al(2x\o\al(22)＋11. 又∵a≥1，∴f(x1)－f(x2)0， ∴f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数． 【方法规律】 利用定义证明函数单调性的步骤 利用定义法证明函数单调性的步骤为： 取值―→作差―→变形―→确定符号―→得出结论 试讨论函数f(x)＝axx2－1，x∈(－1,1)的单调性(其中a≠0)． 解：设－1＜x1＜x2＜1， 则f(x1)－f(x2)＝ax121－ax222＝a?x2－x1??x1x2＋1?222. ∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x21－1＜0，x22－1＜0，－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0. ∴?x2－x1??x2x1＋1?222＞0. 因此，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， ∴f(x1)＞f(x2)，此时函数在(－1,1)上为减函数； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0， ∴f(x1)＜f(x2)，此时函数在(－1,1)上为增函数． 考点二 求函数的单调区间 　 [例2]　求下列函数的单调区间： (1)y＝－x2＋2|x|＋1； (2)y＝log12(x2－3x＋2)． [自主解答]　(1)由于y＝－x2＋2x＋1?x≥0?，－x2－2x＋1?x＜0?，) 即y＝－?x－1?2＋2?x≥0?，－?x＋1?2＋2?x＜0?.) 画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． (2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝log12u与u＝x2－3x＋2的复合函数． 令u＝x2－3x＋2＞0，则x＜1或x＞2. ∴函数y＝log12(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝32，且开口向上． ∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而y＝log12u在(0，＋∞)上是单调减函数， ∴y＝log12(x2－3x＋2)的单调减区间为(2，＋∞)， 单调增区间为(－∞，1)． 【互动探究】 若将本例(1)中的函数变为“y＝|－x2＋2x＋1|”，则结论如何？　　　　　 解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2)和(1，1＋2)． 【方法规律】 函数单调区间的求法 (1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等； (2)如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． 求函数y＝x2＋x－6的单调区间． 解：令u＝x2＋x－6，y＝x2＋x－6可以看作y＝u与u＝x2＋x－6的复合函数． 由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2. ∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝u在(0，＋∞)上是增函数． ∴y＝x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 高频考点 考点三 函数单调性的应用　　 1．高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中． 2．高考对函数单调性的考查主要有以下几个命题角度： (1)利用函数的单调性比较大小； (2)利用函数的单调性解决与抽象函数有关的不等式问题； (3)利用函数的单调性求参数； (4)利用函数的单调性求解最值(或恒成立)问题． [例3]　(1)(2014·济宁模拟)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)0恒成立，