【步步高】高考数学轮知识点巩固题库讲空间向量及其运算(含解析)新人教A版.docVIP

第6讲 空间向量及其运算 一、选择题 1．以下四个命题中正确的是 (　　)． A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向 量的另一组基底 C．△ABC为直角三角形的充要条件是→·→＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 解析　若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝λ－11－μb＋λ＋μ1－μc，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾． 答案　B 2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝ (　　)． A．－4 B．－2 C．4 D．2 解析　∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)， ∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)． ∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2. 答案　D 3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　)． A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b} 解析　若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底． 答案　C 4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝π3，则cos〈→，→〉的值为 (　　)． A．0 　　　　 B.12 C.3)2 　　　　 D.2)2 解析　设→＝a，→＝b，→＝c， 由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝π3，且|b|＝|c|， →·→＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝12|a||c|－12|a||b|＝0，∴cos〈→，→〉＝0. 答案　A 5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若→＝a，→＝b，→＝c，则下列向量中与→相等的向量是 (　　)． A．－12a＋12b＋c B.12a＋12b＋c C．－12a－12b＋c D.12a－12b＋c 解析　→＝→＋→＝→＋12(→－→) ＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c. 答案　A 6．如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A.3 B.2 C．1 D.3－\r(2) 解析 →＝→＋→＋→，∴|→|2＝|→|2＋|→|2＋|→|2＋2→·→＋2→·→＋2→·→＝1＋1＋1－2＝3－2，故|→|＝3－\r(2). 答案　D 二、填空题 7. 设R，向量，且，则 解析 . 答案 8. 在空间四边形ABCD中，→·→＋→·→＋→·→＝________. 解析　如图，设→＝a，→＝b，→＝c， →·→＋→·→＋→·→＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0. 答案　0 9．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③向量与向量的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________． 解析 由⊥，⊥，⊥⊥，得(＋＋)2＝3()2，故①正确；②中－＝，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中|··|＝0.故④也不正确． 答案 ①② 10．如图，空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________． 解析　设→＝a，→＝b，→＝c. OA与BC所成的角为θ， →·→＝a(c－b)＝a·c－a·b＝a·(a＋→)－a·(a＋→)＝a2＋a·→－a2－a·→＝24－162. ∴cos θ＝OA→)→)OA→)→)＝2)8×5＝2)5. 答案　2)5 三、解答题 11．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足→＝13(→＋→＋→)． (1)判断→、→、→三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 解　(1)由已知→＋→＋→＝3 →， ∴→－→＝(→－→)＋(→－→)， 即→＝→＋→＝－→－→， ∴→，→，→共面． (2)由(1)知，→，→，→共面且基线过同一点M， ∴