【步步高】高考数学轮知识点巩固题库讲直接证明与间接证明(含解析)新人教A版.docVIP

第2讲 直接证明与间接证明 一、选择题 1.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理(　　) A 小前提错　　　　　　 B 结论错 C 正确 D 大前提错 解析 大前提，小前提都正确，推理正确，故选C. 答案 C 2．对于平面α和共面的直线m，n，下列命题中真命题是(　　)． A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m?α，n∥α，则m∥n D．若m，n与α所成的角相等，则m∥n 解析　对于平面α和共面的直线m，n，真命题是“若m?α，n∥α，则m∥n”． 答案　C 3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明 (　　)． A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－a4＋b42≤0 C.?a＋b?22－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0 解析　因为a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0，故选D. 答案　D 4．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立(　　)． A．不成立 B．成立 C．不能断定 D．能断定 解析　∵Sn＝2n2－3n， ∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)， ∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)． 又∵an＋1－an＝4(n≥1)， ∴{an}是等差数列． 答案　B 5．设a，b，c均为正实数，则三个数a＋1b，b＋1c，c＋1a(　　)． A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 解析　∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴\a\vs4\al\co1(a＋\f(1b))＋\a\vs4\al\co1(b＋\f(1c))＋\a\vs4\al\co1(c＋\f(1a))＝\a\vs4\al\co1(a＋\f(1a))＋\a\vs4\al\co1(b＋\f(1b))＋ \a\vs4\al\co1(c＋\f(1c))≥6，当且仅当a＝b＝c时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2. 答案　D 6．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1＝ (　　)． A．n B．n＋1 C．n－1 D．n2 解析　由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝n. 答案　A 二、填空题 7．要证明“3＋7＜25”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号)． ①反证法，②分析法，③综合法． 答案　② 8．设ab0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是________． 解析　取a＝2，b＝1，得mn.再用分析法证明： a－ba－b?ab＋a－b?ab＋2b·a－b＋a－b?2b·a－b0，显然成立． 答案　mn 9．已知a，b，μ∈(0，＋∞)且1a＋9b＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________． 解析　∵a，b∈(0，＋∞)且1a＋9b＝1， ∴a＋b＝(a＋b)\a\vs4\al\co1(\f(19b)＝10＋\a\vs4\al\co1(\f(9aba)≥10＋29＝16，∴a＋b的最小值为16. ∴要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，∴0μ≤16. 答案　(0,16] 10．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0； ②ab与ab及a＝b中至少有一个成立； ③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立． 其中判断正确的是_______． 解析 ①②正确；③中a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立， 如a＝1，b＝2，c＝3.选C. 答案 ①② 三、解答题 11．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：|a|＋|b||a＋b|≤2. 证明　a⊥b?a·b＝0， 要证|a|＋|b||a＋b|≤2. 只需证|a|＋|b|≤2|a＋b|， 只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)， 只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2， 只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0， 即(|a|－|b|)2≥0， 上式显然成立，故原不等式得证． 12．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列； (2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ (1)证明　假设数列{Sn}是等比数列，则S22