【步步高通用(理)】高数学轮专题突破专题讲角变换与解角形.docVIP

第2讲　三角变换与解三角形 【高考考情解读】　1.从近几年的考情来看，对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，其中与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点；解三角形与其他知识以及生活中的实际问题联系紧密，有利于考查考生的各种能力，因而成了高考命题的一大热点.2.分析近年考情可知，命题模式一般为1～2题，其中，选择(填空)题多为低档题，解答题则一般为与其他知识(尤其是三角函数、向量)交汇的综合题或实际应用题，难度中等． 1． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1?tan αtan β. 2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan2α. 3． 三角恒等式的证明方法 (1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明． 4． 正弦定理 asin A＝bsin B＝csin C＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R. a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 5． 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 推论：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac， cos C＝a2＋b2－c22ab. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B， a2＋b2－c2＝2abcos C. 6． 面积公式 S△ABC＝12bcsin A＝12acsin B＝12absin C. 7． 解三角形 (1)已知两角及一边，利用正弦定理求解． (2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解. 考点一　三角变换 例1　(2013·广东)已知函数f(x)＝2cos\a\vs4\al\co1(x－\f(π12))，x∈R. (1)求f\a\vs4\al\co1(－\f(π6))的值； (2)若cos θ＝35，θ∈\a\vs4\al\co1(\f(3π2)，2π)，求f\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π3)). 解　(1)f\a\vs4\al\co1(－\f(π6))＝2cos\a\vs4\al\co1(－\f(ππ12) ＝2cos\a\vs4\al\co1(－\f(π4))＝2cos π4＝1. (2)f\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π3))＝2cos\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(ππ12)＝2cos\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π4)) ＝cos 2θ－sin 2θ， 又cos θ＝35，θ∈\a\vs4\al\co1(\f(3π2)，2π)，∴sin θ＝－45， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝2cos2 θ－1＝－725， ∴f\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π3))＝cos 2θ－sin 2θ＝－725＋2425＝1725. 当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”、“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果． 化简常用技巧： ①常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等； ②项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等； ③降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； ④弦、切互化：一般是切化弦． (1)(2013·四川)设sin 2α＝－sin α，α∈\a\vs4\al\co1(\f(π2)，π)，则tan 2α的值是________． (2)(2012·江苏)设α为锐角，若cos\a\vs4\al\co1(α＋\f(π6))＝45，则sin\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π12))的值为________． 答案　(1)3　(2)2)50 解析　(1)∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0， 又α∈\a\vs4\al\co1(\f(π2)，π)，∴