浙江师范大学《高等数学》高数第七章微分方程习题课.pptVIP

* 处的衔接条件可知, 解满足 故所求解为 其通解: 定解问题的解: * 例2. 且满足方程 提示: 则 问题化为解初值问题: 最后求得 p354,题6 * 思考: 设 提示: 对积分换元 , 则有 解初值问题: 答案: * 的解. 例3. 设函数 内具有连续二阶导 (1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ; (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 数, 且 解: 上式两端对 x 求导, 得: (1) 由反函数的导数公式知 (2003考研) * 代入原微分方程得 ① (2) 方程①的对应齐次方程的通解为 设①的特解为 代入①得 A＝0, 从而得①的通解: * 由初始条件 得 故所求初值问题的解为 * 二、微分方程的应用 1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 建立微分方程 ( 共性 ) 利用物理规律 利用几何关系 确定定解条件 ( 个性 ) 初始条件 边界条件 可能还要衔接条件 2 . 解微分方程问题 3 . 分析解所包含的实际意义 * 例4. 解: 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球 引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度. 设人造卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星 的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得: ② (G 为引力系数) 则有初值问题: 又设卫星的初速度 ③ * 代入原方程②, 得 两边积分得 利用初始条件③, 得 因此 注意到 * 为使 因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力, 即 ④ 代入④即得 这说明第二宇宙速度为 * 求质点的运动规 例5. 上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数 提示: 两边对 s 求导得: 牛顿第二定律 … 为 k), 开方如何定 + – ? 已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 * 参考L.P413-P414 * L.P415例1 * L.P418例2 * L.P414 * （P 429 例5 ） * （P 429 例5 ） * 一阶微分方程的 习题课 (一) 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 解法及应用 第七章 * 基本概念 一阶方程 类 型 1.可分离变量 2.齐次方程 3.可化为齐次 方程 4.线性方程 可降阶方程 线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4 二阶常系数线性 方程解的结构 特征方程的根 及其对应项 f(x)的形式及其 特解形式 高阶方程 待定系数法 特征方程法 一、主要内容 * 微分方程解题思路 一阶方程 高阶方程 分离变量法 常数变易法 特征方程法 待定系数法 降阶 作变换 * 一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 三个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程 * 例1. 求下列方程的通解 提示: (1) 故为分离变量方程: 通解 * 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分 离变量方程. * 这是一个齐次方程 . 调换自变量与因变量的地位 , 用线性方程通解公式求解 . 化为 分母太复杂,转换为分子 * 例2. 求下列方程的通解: 提示: (1) 令 u = x y , 得 (分离变量方程) 原方程化为 * 令 y = u t (齐次方程) 令 t = x – 1 , 则 可分离变量方程求解 化方程为 * 例3. 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞) 内满足以下条件: (1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (2003考研) (2) 求出F(x) 的表达式 . 解: (1) 所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程: * (2) 由一阶线性微分方程解的公式得 于是 * 例 求以 为通解的微分方程. 提示: 消去 C 得 例 求下列微分方程的通解: 提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : * 提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程 提示: 这是一阶线性方程 , 其中 * 原方程化为 , 即 则 故原方程通解 提示: 令 * 例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 一鸭子从点 A 游向点 二、解微分方程应用问题 利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件. 为平行直线, 且鸭子游动方向始终朝着点O , 提示: 如图所示建立坐标系. 设时刻t 鸭子位于点P (x, y) ,