专题11空间几何体-高考数学（理）备考学易黄金易错点Word版含解析.docVIP

1．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　) A.13＋23π B.13＋2)3π C.13＋2)6π D．1＋2)6π 答案　C 2．封闭的直三棱柱ABC—A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　) A．4πB.9π2C．6πD.32π3 答案　B 解析　由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为9π2. 3．在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　) A.2π3 B.4π3 C.5π3 D．2π 答案　C 解析　过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－13·π·CE2·DE＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C. 4．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为(　　) A．16 B．82＋8 C．22＋26＋8 D．42＋46＋8 答案　D 解析　由三视图知， 所以S△PCD＝S△PAD＝12×2×22＝22， S△PAB＝S△PBC＝12×22×23＝26. 所以几何体的表面积为46＋42＋8. 5．在正三棱锥S－ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝22，则正三棱锥S－ABC的外接球的表面积为(　　) A．6π B．12π C．32π D．36π 答案　B 6．已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________． 答案　2)3 解析　如图所示， 设圆柱的底面半径为r，则圆柱的侧面积为S＝2πr×21－r2＝4πr1－r2≤4π×r2＋?1－r2?2＝2π(当且仅当r2＝1－r2，即r＝2)2时取等号)． 所以当r＝2)2时， V球V圆柱＝4π3\r(22＝2)3. 7．如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝5，∠ADC＝90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是________． 答案　6)6 解析　设直线AC与BD′所成角为θ，平面ACD翻折的角度为α，设点O是AC的中点，由已知得AC＝6，如图， 所以cosα＝－1时，cosθ取最大值6)6. 8．已知在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝PA＝2，且在△ABC中，∠BAC＝120°，则三棱锥P—ABC的外接球的体积为________． 答案　5)π3 解析　由余弦定理得：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC， ∴BC2＝22＋22－2×2×2×(－12)＝12， ∴BC＝23.设平面ABC截球所得截面圆半径为r，则2r＝3)sin120°＝4，所以r＝2.由PA＝2且PA⊥平面ABC知球心到平面ABC的距离为1，所以球的半径为R＝12＋22＝5，所以V球＝43πR3＝5)π3. 9．如图，侧棱长为23的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面△AEF，则截面△AEF的周长的最小值为____________． 答案　6 10．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与点P重合)，使得∠PEB＝30°. (1)求证：EF⊥PB； (2)试问：当点E在何处时，四棱锥P—EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P—EFCB的体积． (1)证明　∵EF∥BC且BC⊥AB， ∴EF⊥AB，即EF⊥BE，EF⊥PE. 又BE∩PE＝E，∴EF⊥平面PBE， 又PB?平面PBE，∴EF⊥PB. (2)解　设BE＝x，PE＝y，则x＋y＝4. ∴S△PEB＝12BE·PE·sin∠PEB ＝14xy≤14\a\vs4\al\co1(\f(x＋y2))2＝1. 当且仅当x＝y＝2时，S△PEB的面积最大． 此时，BE＝PE＝2. ∴VP—BCFE＝13×6×1＝2. 易错起源1、三视图与直观图 例1、(1)(2016·课标全国甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　) A．20πB．24πC．28πD．32π (2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　) 答案　(1)C　(2)D 【变式探究】(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的