专题11综合训练3（第02期）-高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列Word版含解析.docVIP

2017届高考数学（理）大题狂练 专题11 综合训练3 1.已知等比数列的前项和为，且. （1）求的值及数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 试题解析：（1）∵， ∴当时，，………………………………1分 当时，，…………………… …………2分 即，…………………………………………………………3分 ∵是等比数列，∴，则，得，……………………4分 ∴数列的通项公式为.………………………………5分 （2）由（1）得，……………………7分 ∴…………………………9分 ……………………………………11分 .……………………………………………………12分 考点：利用递推关系求通项；裂项求和. 2.为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”. 分数 .Com] 甲班频数 5 6 4 4 1 乙班频数 1 3 6 5 （1）由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？ 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 .Com] 附： 临界值表： .Com] （2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”；（2）分布列见解析，． 【解析】 试题分析：（1）由已知数据能完成列联表，据列联表中的数据，求出，能在犯错概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”；（2）由题意得的可能取值为，分别求出，由此能求出的的分布列及数学期望. 试题解析：（1） 甲班 乙班 总计 成绩优良 9 16 25 成绩不优良 11 4 15 总计 20 20 40 ………………………………………………………………………………………………2分 根据列联表中的数据，得的观测值为， ∴能在犯错概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.………………5分 考点：独立性检验；离散型随机变量的期望与方差. 3.如图（1），在平行四边形中，，，，，分别为，的中点．现把四边形沿折起，如图（2）所示，连结，，． （1）求证：； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 试题解析：（1）取的中点，连接，，， ∵在平行四边形中，，，，，分别为，的中点， ∴，为正三角形， 则，， 又∵，∴平面， ∵平面， ∴． （2）∵，，，，分别为，的中点， ∴，，， 若， 则， 则三角形为直角三角形，则， 以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，.Com] 则，，，， 则，则，，， 设平面的法向量为， 则令，则，， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 则， 由于二面角是钝二面角， ∴二面角的余弦值是． 考点：空间中的垂直关系，二面角. 4.已知椭圆：的离心率为，以的四个顶点为顶点的四边形的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）设，分别为椭圆的左、右顶点，是直线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，试探究，点是否在以为直径的圆内？证明你的结论． 【答案】(1)；(2)点在以为直径的圆内，证明见解析. 【解析】 试题分析：(1)由已知条件的值,再写出椭圆方程；(2)要证明点在以为直径的圆内，只需证明为钝角即可,所以求出坐标,判断的符号得出为锐角，从而为钝角.来源:] 考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的综合问题. 5.已知函数，． （Ⅰ）若，求的极值； （Ⅱ）若对于任意的，，都有，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）有极小值，没有极大值；（Ⅱ）. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）将代入函数的表达式，求出的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）对于任意的，有，．所以有恒成立，即，构造函数，利用导数求最大值，只需即可. （Ⅱ）， 当时，，∴在上是单调递增函数，最大，………………7分 对于任意的，． 恒成立，即对任意，恒成立，∴，…………9分 令，则． ∴当时，，当时，， ∴在上是增函数，在上是减函数， 当时，最大值为，…………………………………………………………………11分 ∴即．………………………………………………………………………………………12分 考点：函数导数的应用. 6.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为为参数), 曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）设为曲线上一点，曲线上一点