专题05解析几何（第02期）-高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列Word版含解析.docVIP

2017届高考数学（理）大题狂练 专题05 解析几何 1.在平面直角坐标系中，点为曲线上任意一点，且到定点的距离比到轴的距离 多1． （1）求曲线的方程； （2）点为曲线上一点，过点分别作倾斜角互补的直线，与曲线分别交于，两点， 过点且与垂直的直线与曲线交于，两点，若，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或..Com] 试题解析：（1）由题意可知，点到点和到直线的距离相等，故曲线是顶点为原点，点为焦点的抛物线，设曲线的方程为，则，即,故曲线的方程为． （2）设，，，则， ， ∵直线，的倾斜角互补，∴，即，化简得， ∴，故直线的方程为，即，代入得，，∴，又，即，解得，故点的坐标为或． 考点：1、抛物线的定义及方程；2、直线的斜率及定点问题. 2.（原创）已知，，动点满足，其中分别表示直线的斜率，为常数，当时，点的轨迹为；当时，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点的直线与曲线顺次交于四点，且，，是否存在这样的直线，使得成等差数列？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）不存在这样的直线满足题意，理由见解析. 试题解析：（1）设，即，化简得，此即为的方程； （2）如（1）易得，假设存在这样的直线，则由题可知 ，由得，故 ，易得，故，令 ，则可得，令，则 ，故，因此无解，所以不存在这样的直线满足题意. 考点：曲线的轨迹方程；直线与圆锥曲线相交. 3.已知椭圆：（）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求△面积的最大值． 【答案】（1）；（2）. 试题解析：（1）设椭圆的半焦距为，依题意∴， ∴所求椭圆方程为． （2）设， ， ①当⊥轴时，为，代入，得，∴； ②当与轴不垂直时，设直线的方程为， 由已知，得， 把代入椭圆方程，整理， ，，， ∴， 当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立． 综上所述． ∴当最大时，△面积取最大值． 考点：1、待定系数法求椭圆方程及三角形面积公式；2、点到直线距离公式及基本不等式求最值. 4.已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆方程； （2）记与的面积分别为和，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 试题解析：（1）点为椭圆的一个焦点，,又椭圆的方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线方程为，此时与的面积相等，,当直线斜率存在时，设直线方程为，设显然异号，由得，显然，方程有实根，且,此时, 由可得，当且仅当时等号成立， 的最大值为. 考点：1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、韦达定理及椭圆中的最值问题. 5.已知椭圆：过点，为椭圆的半焦距，且，过点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于另两点,． （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为，求的面积； （3）若线段的中点在轴上，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 试题解析：（1）因为椭圆：，过点， 为椭圆的半焦距，且， 所以，且， 所以，解得，， 所以椭圆方程为． （2）设方程为， 由整理得， 因为，解得， 当时，用代替，得， 将代入，得， ． 因为，所以，， 所以的面积为． 考点：椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系. 6.已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由 【答案】（I）；（II）不存在，理由见解析. 试题解析： （I）因为椭圆的左顶点在圆上，令，得，所以.又离心率为，所以，所以，所以. 所以的方程为. （II）设点，，设直线的方程为， 与椭圆方程联立得， 化简得到，因为-4为方程的一个根， 所以，所以 所以 因为圆心到直线的距离为， 所以. 因为， 代入得到， 显然，所以不存在直线，使得. 考点：直线与圆锥曲线位置关系.